Définition du barycentre

Le barycentre d'un ensemble de points est le point qui représente leur moyenne pondérée. En termes simples, il s'agit du \"centre de masse\" si chaque point a un poids ou une masse associée.

Cas de plusieurs points avec des poids

1. Considérons n points \( A_1, A_2, ..., A_n \) du plan, avec leurs coordonnées respectives :
• \( A_i = (x_i, y_i) \)
2. Chacun de ces points a un poids \( m_i \) positif.

Formule du barycentre

Le barycentre \( G \) de ces points est donné par ses coordonnées (\( x_G, y_G \)) :

\[ \xG = \frac{\sum_{i=1}^n m_i x_i}{\sum_{i=1}^n m_i} \quad \text{et} \quad y_G = \frac{\sum_{i=1}^n m_i y_i}{\sum_{i=1}^n m_i} \]

En d'autres termes, chaque coordonnée est la moyenne pondérée des coordonnées des points, avec pour poids les masses \( m_i \).

Exemple de calcul

Supposons deux points : \( A_1 = (2, 3) \) avec un poids \( m_1 = 2 \), et \( A_2 = (4, 7) \) avec un poids \( m_2 = 3 \).

Les coordonnées du barycentre sont :

\[ x_G = \frac{2 \times 2 + 3 \times 4}{2 + 3} = \frac{4 + 12}{5} = \frac{16}{5} = 3,2 \]

\[ y_G = \frac{2 \times 3 + 3 \times 7}{2 + 3} = \frac{6 + 21}{5} = \frac{27}{5} = 5,4 \]

Le barycentre \( G \) est donc à \( (3,2 ; 5,4) \).