Calcul exact et approché : somme, différence, produit, quotient

Savoir additionner, soustraire, multiplier et diviser avec des nombres relatifs et des rationnels, en exact ou approché.

Objectifs

Comprendre les règles de signe pour les opérations sur nombres relatifs.
Appliquer ces règles aux nombres entiers et aux fractions (rationnels).
Savoir donner un résultat exact et, si besoin, un résultat approché.

Notions clés

1) Règles de signes (entiers relatifs)

Avant la définition, visualisons sur une droite numérique :

Définitions et règles :

Somme : même signe → on additionne les valeurs absolues et on garde le signe commun.
Différence : soustraire revient à ajouter l'opposé : \(a-b = a+(-b)\).
Produit : signe positif si les facteurs ont le même signe, négatif sinon.
Quotient : même règle que le produit pour le signe (division par zéro interdite).

Quiz de vérification :

Quel est le signe de \((-4) \times (-7)\) ?

Positif
Négatif
Impossible à déterminer

Deux signes identiques donnent un produit positif.

2) Opérations sur des fractions (rationnels)

Rappels :

Pour additionner ou soustraire des fractions, on met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs.
Pour multiplier, on multiplie numérateurs entre eux et dénominateurs entre eux puis on simplifie.
Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.

Quiz de vérification :

Quel est le signe de \(\tfrac{-2}{3} \times \tfrac{9}{4}\) ?

Positif
Zéro
Négatif

Les signes sont opposés (négatif fois positif) donc le produit est négatif.

Exemples résolus

Étape 1 — \((-3)+5\) : on additionne valeurs absolues et garde le signe du nombre le plus grand en valeur absolue. \[(-3)+5 = 5-3 = 2\]

Étape 2 — \((-7)-(-2)\) : on transforme la différence en somme de l'opposé : \[(-7)-(-2)=(-7)+2\] Puis on calcule : \[(-7)+2 = -(7-2) = -5\]

Voir la solution complète du deuxième calcul

On utilise \(a-b = a+(-b)\) :

\[(-7)-(-2) = (-7) + ( -(-2) ) = (-7) + 2 = -5.\]

Étape 1 — somme de fractions : mettre au même dénominateur (4) : \[\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{4},\quad \dfrac{2}{4}+\left(-\dfrac{3}{4}\right)=\dfrac{2-3}{4}=\dfrac{-1}{4}.\]

Étape 2 — produit : \[\dfrac{-2}{3} \times \dfrac{9}{4} = \dfrac{-2\times 9}{3\times 4} = \dfrac{-18}{12} = \dfrac{-3}{2} \quad (\text{après simplification par }6).\]

Quiz (après les exemples) :

Quel est le résultat de \((-5) + (-8)\) ?

Même signe négatif → additionner valeurs absolues : \(5+8=13\) puis signe négatif.

Erreurs fréquentes

Confondre le signe de la somme quand les valeurs ont signes opposés : toujours comparer les valeurs absolues.
Ne pas simplifier les fractions avant multiplication pour éviter les grands nombres inutiles.
Diviser par zéro : reste impossible — vérifier le dénominateur.

Quiz — repérer l'erreur :

On calcule \((-6) - 4\). Quelle est la bonne valeur ?

-10
2
-2

\((-6)-4 = (-6)+(-4) = -(6+4) = -10\).

Récapitulatif rapide

Soustraire = ajouter l'opposé : \(a-b=a+(-b)\).
Produit/quotient : même signe → positif, signes opposés → négatif.
Fractions : même dénominateur pour addition/soustraction ; multiplier numérateurs et dénominateurs pour la multiplication ; diviser = multiplier par l'inverse.

Cartes mémo

Soustraction

\(a-b = a+(-b)\)

Produit de signes

Même signe → positif ; signes opposés → négatif

Addition de fractions

Même dénominateur → additionner numérateurs

Multiplication de fractions

Multiplier numérateurs et dénominateurs puis simplifier