Introduction

Le calcul intégral permet de déterminer l'aire située entre une courbe et l'axe des abscisses, sur un intervalle donné. Cette aire est liée à la notion d'intégrale définie.

La notion d'aire

Supposons une fonction continue f définie sur un intervalle [a, b]. La courbe de f, entre a et b, crée une surface limitée par :

• la courbe y = f(x),
• l'axe x,
• les droites verticales x = a et x = b.

Cette surface est appelée l'aire sous la courbe.

Approximation par des sommes de Riemann

Pour calculer cette aire, on approche la surface par des rectangles successifs. On divise [a, b] en n sous-intervalles :

Δx = (b - a)/n

Chaque rectangle a une largeur Δx et une hauteur approximée f(x_i), où x_i est un point dans l'intervalle.

La somme des aires de ces rectangles est :

S_n = Σ f(xi) Δx

En faisant tendre n vers l'infini, cette somme converge vers l'aire exacte sous la courbe.

Définition de l'intégrale

L'intégrale de f de a à b est la limite :

∫ab f(x) dx = limn→∞ Σ f(xi) Δx

Cette limite, si elle existe, représente l'aire sous la courbe entre a et b.

Résumé

• L'intégrale définit une aire si la fonction est positive et continue.
• Elle se calcule comme la limite de sommes de Riemann quand le nombre de rectangles tend vers l'infini.