Calcul intégral : Définition comme aire sous la courbe

Introduction

Le calcul intégral consiste, entre autres, à déterminer l'aire sous une courbe. Cette aire est liée à la notion d'intégrale.

La courbe d'une fonction

Considérons une fonction continue \(f\) définie sur un intervalle \([a, b]\). La courbe représentative de \(f\) est le tracé du graphe de \(f(x)\) pour \(x\) dans \([a, b]\).

Définition de l'aire sous la courbe

L'aire entre la courbe de \(f\), l'axe des x, et les droites \(x=a\) et \(x=b\) est ce que l'on appelle l'aire sous la courbe de \(f\) de \(a\) à \(b\).

Intuitivement, cette aire est la somme des petites surfaces rectangulaires cumulées entre \(a\) et \(b\).

Construction par la somme de Riemann

Pour approximer cette aire, on découpe \([a, b]\) en \(n\) sous-intervalles de longueur \(\Delta x = rac{b-a}{n}\).

Pour chaque sous-intervalle \([x_k, x_{k+1}]\), on prend une valeur \(f(x_k)\) et on construit une surface rectangulaire de hauteur \(f(x_k)\).

La somme de ces rectangles donne une approximation :

\[ ext{S}_n = \sum_{k=0}^{n-1} f(x_k) imes \Delta x \]

Limite lorsque \(n o \infty\)

En faisant tendre \(n\) vers l'infini, avec \(\Delta x o 0\), cette somme converge vers l'intégrale :

\[ \int_a^b f(x) \, dx \]

Cette intégrale est la valeur exacte de l'aire sous la courbe de \(f\) entre \(a\) et \(b\).

Résumé

La notion d'aire sous une courbe est fondamentale en calcul intégral.
Elle se définit comme la limite des sommes de Riemann lorsque la subdivision devient infiniment fine.
Cette limite s'exprime par l'intégrale \(\int_a^b f(x) \, dx\).