Calcul intégral : Intégration par parties et approximation numérique

1. Introduction au calcul intégral

Le calcul intégral permet de déterminer l'intégrale d'une fonction, c'est-à-dire la surface sous la courbe de cette fonction entre deux bornes.

2. La méthode d'intégration par parties

2.1. Formule d'intégration par parties

Si \( u = u(x) \) et \( dv = v'(x)dx \) sont deux functions dérivables, alors :

\[ \int u\, dv = uv - \int v\, du \]

2.2. Utilisation pratique

• Choisir \( u \) et \( dv \) dans l'intégrale à résoudre.
• Calculer \( du = u' dx \) et \( v = \int dv \).
• Appliquer la formule : \(\int u\, dv = uv - \int v\, du\).

2.3. Exemple

Calculons \( \int x e^{x} dx \).

• Choix : \( u = x \Rightarrow du = dx \), et \( dv = e^{x} dx \Rightarrow v= e^{x} \).
• Application :

\[ \int x e^{x} dx = x e^{x} - \int e^{x} dx = x e^{x} - e^{x} + C \]

3. Approximations numériques

3.1. Approximation par rectangles (Méthode des Riemann)

Pour approximer l'intégrale \(\int_{a}^{b} f(x) dx\), on divise \([a, b]\) en petits intervalles et on somme l'aire de rectangles :

\[ ext{Aire} pprox \sum_{k=1}^{n} f(x_k^*) \Delta x \]

• \(\Delta x = rac{b - a}{n}\)
• \(x_k^*\) choisi selon différentes stratégies (milieu, extrémité...)

3.2. Approximation par trapèzes

Utilise la formule :

\[ \int_{a}^{b} f(x) dx pprox rac{\Delta x}{2} \left( f(a) + 2 \sum_{k=1}^{n-1} f(x_k) + f(b) ight) \]

qui correspond à l'aire de trapèges sous la courbe.

3.3. Exemple d'approximation

Approximer \( \int_0^{1} x^2 dx \) avec 4 sous-intervalles :

• \(\Delta x = 0.25\)
• Les points : 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1
• Valeurs de la fonction :

\(f(0) = 0^2 = 0\)
\(f(0.25) = 0.0625\)
\(f(0.5) = 0.25\)
\(f(0.75) = 0.5625\)
\(f(1) = 1\)

• Approximation par trapèzes :

\[	ext{Aire} pprox rac{0.25}{2} \left(0 + 2(0.0625 + 0.25 + 0.5625) + 1 
ight) = 0.125 	imes (0 + 2 	imes 0.875 + 1) = 0.125 	imes (0 + 1.75 + 1) = 0.125 	imes 2.75 = 0.34375 \]

La valeur exacte étant \(rac{1}{3} pprox 0.3333\), cette approximation est raisonnable.