Calcul intégral : Intégration par parties, approximation par rectangles et trapèzes

1. Récapitulatif du calcul intégral

Le calcul intégral permet de déterminer l'aire sous une courbe représentée par une fonction continue f sur un intervalle [a, b]. La notation : \int_a^b f(x)\,dx

2. Méthode d'intégration par parties

Concept

Elle permet d'intégrer le produit de deux fonctions, u(x) et v'(x), en utilisant la formule :

\int_a^b u(x) v'(x) \ dx = [u(x) v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x) v(x) \ dx

Procédé

1. Choisir u(x) et v'(x) dans l'intégrand.
2. Calculer u'(x) et v(x) (en intégrant v'(x)).
3. Appliquer la formule pour simplifier l'intégrale.
4. Réitérer si nécessaire jusqu'à obtenir une intégrale facile à résoudre.

Exemple simple

Pour l'intégrale :

\int x e^x dx

Choix :

• u(x) = x, donc u'(x) = 1
• v'(x) = e^x, donc v(x) = e^x

Application :

\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C

3. Approximation de l'intégrale

Objectif

Approximer l'intégrale lorsque la fonction ou la calcul exacte sont difficiles à obtenir ou pour des fonctions complexes.

3.1 Approximation par rectangles (Méthode de Riemann)

• Diviser [a, b] en n sous-intervalles de largeur Δx = (b - a)/n.
• Choisir un point dans chaque sous-intervalle (par exemple, gauche, droite ou milieu).
• Sommer les surfaces des rectangles :
\sum_{k=1}^n f(x_k) \Delta x
• Plus n est grand, plus l'approximation est précise.

3.2 Approximation par trapèzes

• Utilise la moyenne des valeurs en début et fin de chaque sous-intervalle :
\int_a^b f(x) dx \approx \frac{\Delta x}{2} \left[f(x_0) + 2 \sum_{k=1}^{n-1} f(x_k) + f(x_n)\right]

Les méthodes deviennent plus précises en augmentant n ou en adaptant la subdivision.

4. Conclusion

• L'intégration par parties est utile pour intéragir avec le produit de fonctions.
• Les méthodes d'approximation permettent d'estimer une intégrale quand la solution exacte est difficile ou impossible à calculer analytiquement.