Calcul intégral : lien avec les primitives et valeur moyenne
Calcul intégral : lien avec les primitives et valeur moyenne
Pour calculer une intégrale, on cherche une primitive \(F\) de \(f\) et on fait \(F(b)-F(a)\) ; en divisant par la longueur \(b-a\), on obtient la valeur moyenne de \(f\).
Objectifs
- Savoir que \(x \mapsto \int_a^x f(t)\,dt\) est la primitive de \(f\) qui s'annule en \(a\).
- Calculer une intégrale à l'aide d'une primitive : \(\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)\).
- Définir et calculer la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle.
- Utiliser l'inégalité de la moyenne pour encadrer une intégrale.
1. L'intégrale, une fonction de sa borne supérieure
Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \(I\) et \(a\) un réel de \(I\). On définit sur \(I\) la fonction
\[ F(x) = \int_a^x f(t)\,dt . \]Conséquence : toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.
Exemple résolu 1
Déterminer la fonction \(G(x)=\int_1^x \frac{1}{t}\,dt\) pour \(x>0\). Cherche d'abord.
Voir la solution
\(G\) est la primitive de \(t\mapsto \frac1t\) sur \(]0;+\infty[\) qui s'annule en \(1\). Les primitives de \(\frac1t\) sont \(\ln t + k\) et \(\ln 1 = 0\), donc \(k=0\) :
\[ G(x) = \ln x . \]On retrouve la définition de la fonction logarithme népérien : c'est une intégrale !
Soit \(F(x)=\int_0^x e^{t^2}\,dt\). Que vaut \(F'(x)\) ?
2. Calculer une intégrale avec une primitive
Le choix de la primitive n'a pas d'importance : si on ajoute une constante \(k\) à \(F\), elle disparaît dans la différence \((F(b)+k)-(F(a)+k)\).
Exemple résolu 2
Calculer \(I = \int_0^2 x^2\,dx\).
Exemple résolu 3
Calculer \(J = \int_0^{\pi} \sin x\,dx\) et \(K = \int_0^{1} e^{x}\,dx\).
Voir la solution
\[ J = \Big[-\cos x\Big]_0^{\pi} = -\cos\pi - (-\cos 0) = 1 + 1 = 2. \] \[ K = \Big[e^{x}\Big]_0^{1} = e^{1} - e^{0} = e - 1 \approx 1{,}72. \]Propriétés utiles (rappel)
- Linéarité : \(\int_a^b \big(\alpha f + \beta g\big) = \alpha\int_a^b f + \beta\int_a^b g\).
- Relation de Chasles : \(\int_a^b f + \int_b^c f = \int_a^c f\).
- Inverser les bornes change le signe : \(\int_b^a f = -\int_a^b f\).
- Positivité : si \(f\ge 0\) sur \([a;b]\) avec \(a\le b\), alors \(\int_a^b f \ge 0\).
Que vaut \(\int_0^1 3x^2\,dx\) ?
Que vaut \(\int_1^{e} \frac{1}{x}\,dx\) ?
3. Valeur moyenne d'une fonction
Interprétation graphique (si \(f\ge 0\)) : le rectangle de base \([a;b]\) et de hauteur \(\mu\) a la même aire que le domaine situé sous la courbe de \(f\). La partie de la courbe qui « dépasse » au-dessus du rectangle compense exactement le vide en dessous.
Le domaine sous la courbe de \(x^2\) entre 0 et 3 a pour aire \(\int_0^3 x^2\,dx = 9\).
On trace le rectangle de base 3 et de hauteur \(\mu = \frac{9}{3} = 3\).
Ce rectangle a la même aire, 9 : la bosse au-dessus compense le creux en dessous.
Manipule : la courbe de \(y=x^2\) et la droite horizontale de hauteur égale à sa valeur moyenne sur \([0;a]\), qui vaut \(\frac{a^2}{3}\). Fais varier \(a\) et observe que la droite coupe toujours la courbe.
Exemple résolu 4
Calculer la valeur moyenne de \(f(x) = 2x+1\) sur \([1;4]\).
Exemple résolu 5 (situation concrète)
À Niamey, un jour de saison chaude, on modélise la température (en °C) entre 6 h et 18 h par \(T(t) = -\frac{1}{4}t^2 + 6t + 4\), \(t\) en heures. Calculer la température moyenne sur cette période.
Voir la solution
Une primitive est \(G(t) = -\dfrac{t^3}{12} + 3t^2 + 4t\).
\begin{align} G(18) &= -\frac{5832}{12} + 3\times 324 + 72 = -486 + 972 + 72 = 558\\ G(6) &= -\frac{216}{12} + 3\times 36 + 24 = -18 + 108 + 24 = 114 \end{align} \[ \mu = \frac{1}{18-6}\big(558-114\big) = \frac{444}{12} = 37 . \]La température moyenne entre 6 h et 18 h est de \(37\) °C (dans ce modèle).
Inégalité de la moyenne
Exemple : sur \([0;1]\), \(1 \le e^{x^2} \le e\), donc \(1 \le \int_0^1 e^{x^2}\,dx \le e\), alors qu'on ne sait pas calculer cette intégrale avec une primitive usuelle.
Quelle est la valeur moyenne de \(x\mapsto x^2\) sur \([0;3]\) ?
Une fonction continue vérifie \(2 \le f(x) \le 5\) sur \([1;3]\). Quel encadrement de \(\int_1^3 f(x)\,dx\) est sûr ?
Schéma de la méthode
flowchart LR A[Fonction f continue] --> B[Trouver une primitive F] B --> C[Calculer F de b moins F de a] C --> D[Intégrale] D --> E[Diviser par b moins a] E --> F[Valeur moyenne]
Récapitulatif
- \(x\mapsto\int_a^x f(t)\,dt\) est la primitive de \(f\) qui s'annule en \(a\) (si \(f\) est continue).
- \(\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)\) pour n'importe quelle primitive \(F\) de \(f\).
- Valeur moyenne : \(\mu = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx\), hauteur du rectangle de même aire.
- Si \(m\le f\le M\) sur \([a;b]\), alors \(m(b-a)\le\int_a^b f\le M(b-a)\).
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