1. Rappel sur la primitive

Une primitive d'une fonction \(f\) sur un intervalle \([a, b]\) est une fonction \(F\) telle que \(F'(x) = f(x)\) pour tout \(x \in [a, b]\).

2. La formule fondamentale du calcul intégral

Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \([a, b]\), alors l'intégrale définie de \(f\) sur \([a, b]\) est donnée par : \[ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) \] Elle relie le calcul intégral à la primitive de la fonction.

3. La valeur moyenne d'une fonction

La valeur moyenne \(f_{moy}\) de \(f\) sur \([a, b]\) est définie par :

\[ f_{moy} = rac{1}{b - a} \int_a^b f(x)\,dx \]

Elle représente la valeur constante que la fonction pourrait prendre si elle était uniforme sur \([a, b]\), tout en ayant la même aire sous la courbe.

4. Lien avec la primitive

En utilisant une primitive \(F\) de \(f\), la valeur moyenne s'écrit aussi :

\[ f_{moy} = rac{F(b) - F(a)}{b - a} \]

Ceci montre que la moyenne de la fonction sur l'intervalle dépend de la variation de sa primitive.