1. Primitives et intégrale définie

Une fonction \(f\) est dite primitve de \(f\) si sa dérivée est égale à \(f\), c'est-à-dire si :

\[ F'(x) = f(x) \]

En notation d'intégration, si \(F\) est une primitive de \(f\), alors pour \(a, b \in \mathbb{R}\), on a :

\[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) \]

2. Le lien entre primitives et intégrale

Le calcul de l'intégrale définie peut être effectué en trouvant une primitive de la fonction, puis en calculant la différence :

\[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) \]

Ceci est appelé théorème fondamental du calcul intégral.

3. La valeur moyenne d'une fonction

La valeur moyenne \(m\) de \(f\) sur \([a, b]\) est une valeur telle que :

\[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = m imes (b - a) \]

Elle représente la moyenne de la fonction sur cet intervalle.

Formule :

\[ m = rac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]

Autrement dit, le nombre \(m\) tel que la surface sous la graphique de \(f\) sur \([a, b]\) est égale à la surface d’un rectangle de base \(b-a\) et de hauteur \(m\).

4. Application : calcul de la valeur moyenne

Exemple : Si \(f(x) = 2x\) sur \([1, 3]\), la primitive est :

\[ F(x) = x^2 \]

Calculons l'intégrale :

\[ \int_{1}^{3} 2x \, dx = F(3) - F(1) = 3^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8 \]

La valeur moyenne est donc :

\[ m = rac{1}{3-1} imes 8 = rac{8}{2} = 4 \]

Ce qui signifie que la fonction possède en moyenne une valeur de 4 sur l'intervalle \([1, 3]\).