1. Primitives

Une primitive d'une fonction f est une fonction F telle que F' = f. Autrement dit, F est une fonction dont la dérivée est f.

Exemples :
Si f(x) = 2x, une primitive est F(x) = x^2 + C, où C est une constante.

2. Récupérer une primitive à partir d'une fonction

• Utiliser des règles de calcul integrale (puissance, somme, produit par une constante).
• Ajouter une constante C après integration.

3. Calcul de la valeur moyenne d'une fonction

La valeur moyenne d'une fonction f sur un intervalle [a, b] est définie par :

m = (1 / (b - a)) × ∫_a^b f(x) dx

Cela correspond à la moyenne arithmétique de la fonction sur cet intervalle.

4. Lien entre primitives et valeur moyenne

Grâce au théorème fondamental du calcul, on peut calculer la valeur moyenne en intégrant une primitive :

Si F est une primitive de f, alors :

∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

Par conséquent :

m = (F(b) - F(a)) / (b - a)

5. Exemple

Calculer la valeur moyenne de f(x) = 3x^2 sur [1, 3].

1. Une primitive de f(x) = 3x^2 est F(x) = x^3 + C.
2. Calculons F(3) - F(1) = 3^3 - 1^3 = 27 - 1 = 26.
3. La longueur de l'intervalle : 3 - 1 = 2.
4. Valeur moyenne : m = 26 / 2 = 13.

La valeur moyenne de f sur [1, 3] est donc 13.