Les lettres décrivent un calcul variable ; ses valeurs se calculent en respectant les conditions.

Calcul littéral : expressions, valeurs et conditions

Objectifs

Traduire un modèle avec une lettre.
Substituer et réduire.
Garder le domaine d’une expression.

Traduire une situation par des lettres

Une lettre représente un nombre. Une expression littérale décrit un calcul en fonction de cette valeur. Avec \(n\) cahiers, le coût du modèle fictif est \(C(n)=250n+500\), en F CFA. Pour cet achat, \(n\) est un entier positif ou nul. En algèbre, on étudie aussi des expressions pour des valeurs réelles, en précisant leur domaine.

Calcule le coût de quatre cahiers dans ce modèle.

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Remplacer \(n\) par \(4\) : \(C(4)=250\times4+500\).

Effectuer le produit, puis la somme : \(C(4)=1000+500=1500\).

Le coût est donc \(1500\) F CFA pour les données fictives annoncées.

Que représente \(n\) dans ce modèle ?

Le nombre de cahiers
Le coût d’un seul cahier
Les frais fixes

La lettre représente la quantité variable, et non une unité monétaire.

Substituer et réduire sans changer la valeur

Substituer remplace chaque lettre par une valeur, en gardant les parenthèses nécessaires. Réduire rassemble les termes de même nature : \(3x+5x=8x\), mais \(3x+5\) ne devient pas \(8x\). Le coefficient multiplie la lettre.

Réduis \(A(x)=3x+5+2x-7\), puis calcule \(A(-2)\).

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Rassembler les termes en \(x\) et les constantes : \(A(x)=5x-2\).

Substituer : \(A(-2)=5(-2)-2=-10-2=-12\).

Contrôler dans l’écriture initiale : \(3(-2)+5+2(-2)-7=-6+5-4-7=-12\).

Dans le graphique, p représente le prix d’un cahier et f les frais fixes fictifs. Change un curseur, prédis le nouveau coût puis lis la courbe. Elle prolonge mathématiquement le modèle entre les quantités entières ; seuls les nombres entiers correspondent ici à des achats.

Que vaut \(-x^2\) pour \(x=-3\) ?

\(9\)
\(-9\)
\(-6\)

On calcule d’abord le carré : \(-(-3)^2=-9\).

Garder les conditions et contrôler une égalité

Dans une fraction, le dénominateur doit être non nul. Deux expressions peuvent être égales sur un domaine précis sans être toutes deux définies partout. Tester quelques valeurs peut détecter une erreur, mais ne prouve pas une identité pour tous les réels.

Simplifie \(B(x)=\frac{x(x+3)}x\). Peut-on ensuite calculer \(B(0)\) ?

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Le dénominateur impose \(x\neq0\).

Sur ce domaine, simplifier le facteur commun donne \(B(x)=x+3\).

Pour \(x=0\), l’expression initiale reste indéfinie. Le fait que \(x+3\) puisse être calculé ne définit pas \(B(0)\).

Un seul test numérique réussi prouve-t-il une identité pour tous les réels ?

Une preuve générale repose sur des transformations valides ; un test reste particulier.

Erreurs fréquentes

Résumé

Traduis les données, remplace les lettres avec soin, réduis les termes compatibles puis contrôle le domaine.

Cartes mémo : cherche avant de retourner

Variable

Lettre représentant un nombre pouvant changer.

Coefficient

Nombre qui multiplie une expression ou une lettre.

Substitution

Remplacement d’une lettre par une valeur.

Réduction

Regroupement de termes de même nature.

Domaine

Valeurs pour lesquelles l’expression est définie.