Développer et factoriser sont deux transformations inverses guidées par la structure de l’expression.

Calcul littéral : développement et factorisation

Objectifs

Appliquer la double distributivité.
Reconnaître les identités remarquables.
Choisir et vérifier une factorisation.

Développer et réduire

Développer transforme un produit en somme grâce à la distributivité : \(a(b+c)=ab+ac\), et \(a(b-c)=ab-ac\). La double distributivité donne \((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\). Réduire rassemble ensuite les termes de même nature.

Développe et réduis \((x+3)(2x-1)\).

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Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde : \(2x^2-x+6x-3\).

Réduire \(-x+6x=5x\). Le résultat est \(2x^2+5x-3\).

Contrôle particulier pour \(x=2\) : le produit vaut \(5\times3=15\) et le développement \(8+10-3=15\). Ce test contrôle ce cas, pas toute l’identité.

Quelle forme vaut \(-3(x-2)\) ?

\(-3x-6\)
\(-3x+6\)
\(-3x+2\)

Le facteur \(-3\) multiplie les deux termes, donc aussi \(-2\).

Reconnaître les identités remarquables

Pour tous réels \(a,b\) : \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\), \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\), et \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). Ces identités découlent de la double distributivité.

Développe \((x+4)^2\), puis calcule \(102^2\) sans poser la multiplication.

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\((x+4)^2=x^2+8x+16\). Le double produit est \(2\times x\times4\).

\(102^2=(100+2)^2=10000+400+4=10404\).

Le terme intermédiaire est indispensable ; l’oublier donnerait une autre valeur.

Compare les courbes du carré d’une somme et de la somme des carrés. Change le curseur a, puis cherche des abscisses où elles diffèrent : un seul désaccord suffit à réfuter une égalité prétendue universelle.

Quel terme manque dans \(a^2+b^2\) pour obtenir \((a+b)^2\) ?

\(2ab\)
\(a+b\)
\(ab^2\)

Le développement complet comporte les deux produits croisés, qui se regroupent.

Factoriser selon la structure

Factoriser est l’opération inverse du développement. Cherche d’abord un facteur commun ; sinon, examine les identités remarquables. Le bon choix dépend du but : aucune écriture n’est toujours la meilleure.

flowchart LR
A[Expression en somme] --> B{Facteur commun}
B -->|Oui| C[Mettre en facteur]
B -->|Non| D[Chercher identite remarquable]
C --> E[Verifier en developpant]
D --> E

Factorise \(6x+18\), puis \(9x^2-25\) et \(x^2+10x+25\).

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\(6x+18=6(x+3)\), en sortant le facteur commun.

\(9x^2-25=(3x)^2-5^2=(3x-5)(3x+5)\).

\(x^2+10x+25=x^2+2\times x\times5+5^2=(x+5)^2\).

Un développement des produits redonne chaque expression initiale.

Quelle factorisation convient à \(x^2-16\) ?

\((x-4)^2\)
\((x-4)(x+4)\)
\(x(x-16)\)

C’est une différence de carrés, pas le carré d’une différence.

Erreurs fréquentes

Résumé

Observe la structure, applique une propriété complète puis vérifie en effectuant la transformation inverse.

Cartes mémo : cherche avant de retourner

Développer

Transformer un produit en somme.

Réduire

Regrouper les termes de même nature.

Double distributivité

Chaque terme d’une parenthèse multiplie chaque terme de l’autre.

Identité remarquable

Égalité générale reconnaissable par sa structure.

Factoriser

Transformer une somme en produit.