Développer et factoriser changent la forme d’une expression, jamais sa valeur.

Calcul littéral : développement et factorisation

Objectifs

Appliquer la distributivité.
Reconnaître facteurs communs et identités remarquables.
Choisir une forme utile et vérifier.

Développer : multiplier chaque terme

Développer transforme un produit en somme. La distributivité donne \(a(b+c)=ab+ac\). Pour multiplier deux sommes, chaque terme de la première multiplie chaque terme de la seconde. On réduit ensuite les termes semblables, c’est-à-dire ceux qui ont la même partie littérale et les mêmes exposants.

Développe et réduis \(3(x+4)-2(x-1)\).

Voir la solution après avoir cherché

On distribue aussi le signe négatif : \[3(x+4)-2(x-1)=3x+12-2x+2.\]

On regroupe : \[3x-2x+12+2=x+14.\]

Vérification pour \(x=2\) : l’expression initiale vaut \(18-2=16\), et \(x+14=16\). Ce test contrôle cet exemple, sans prouver à lui seul une identité.

Que vaut le développement de \(-2(x-3)\) ?

\(-2x-6\)
\(-2x+6\)
\(-2x-3\)

Le facteur négatif multiplie les deux termes : \((-2)\times(-3)=6\).

Factoriser : retrouver un produit

Factoriser transforme une somme en produit. On recherche un facteur commun à tous les termes : \(ab+ac=a(b+c)\). Le facteur peut être un nombre, une lettre ou une expression entière. Les identités remarquables aident aussi :

\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,\quad(a-b)^2=a^2-2ab+b^2,\quad a^2-b^2=(a-b)(a+b).\]

Factorise \(6x^2+9x\), puis \((x+2)(x-1)+3(x+2)\).

Voir la solution après avoir cherché

On extrait le facteur commun \(3x\) : \[6x^2+9x=3x(2x+3).\]

Dans la seconde expression, le facteur commun est \((x+2)\) : \[(x+2)(x-1)+3(x+2)=(x+2)(x-1+3)=(x+2)^2.\]

On vérifie chaque factorisation en redéveloppant.

Quelle expression égale \(x^2-9\) ?

\((x-3)^2\)
\((x-3)(x+3)\)
\((x-9)(x+1)\)

C’est une différence de deux carrés : \(x^2-3^2\).

Choisir une forme et vérifier

Développée et factorisée, une même expression garde sa valeur. La forme développée aide à regrouper ; la forme factorisée fait apparaître des facteurs. Pour prouver une identité, on utilise les règles algébriques. Tester quelques valeurs peut détecter une erreur, mais ne prouve pas une égalité pour tous les réels.

Compare \((x+1)^2\) et \(x^2+1\). Puis factorise \(x^2+2x+1\).

Voir la solution après avoir cherché

On développe : \[(x+1)^2=x^2+2x+1.\]

Le terme \(2x\) manque dans \(x^2+1\). Pour \(x=1\), on obtient respectivement \(4\) et \(2\) : ce ne sont pas des expressions identiques.

L’identité remarquable donne \[x^2+2x+1=(x+1)^2.\]

flowchart LR
A[But du calcul] --> B{Forme utile}
B --> C[Developper et reduire]
B --> D[Factoriser]
C --> E[Verifier les operations]
D --> E

Deux expressions égales pour une seule valeur sont-elles forcément identiques ?

Une valeur peut confirmer un cas particulier ; une identité exige un raisonnement général.

Erreurs fréquentes

Récapitulatif

Choisis une forme adaptée, écris chaque transformation et vérifie en utilisant l’opération inverse.

Développer

Transformer un produit en somme.

Réduire

Regrouper les termes semblables.

Factoriser

Transformer une somme en produit.

Facteur commun

Expression présente comme facteur dans chaque terme.

Identité

Égalité vraie pour toutes les valeurs de son domaine.