Calcul littéral et équations - Résolution d'équations et d'inéquations du premier degré

Résolution d'équations et d'inéquations du premier degré

Niveau : 2nde — Thème : Calcul littéral et équations.

Objectifs

Comprendre ce qu'est une équation et une inéquation du premier degré.
Savoir résoudre une équation ou une inéquation linéaire à une inconnue.
Interpréter les solutions et éviter les erreurs courantes.

Rappels et définitions

Équation du premier degré : une égalité contenant une expression linéaire en l'inconnue x, exemple : ax + b = c avec a, b, c réels et a ≠ 0.
Inéquation du premier degré : une inégalité du type ax + b < c, ax + b > c, ax + b ≤ c, ax + b ≥ c.
Solution : valeur(s) de x qui rendent l'égalité vraie (pour une équation) ou qui satisfont l'inégalité.

Méthode pour résoudre une équation linéaire

Simplifier chaque membre (développer, réduire les termes semblables).
Transposer les termes contenant x d'un côté et les termes constants de l'autre en ajoutant ou soustrayant la même quantité des deux côtés.
Factoriser si nécessaire pour isoler x : mettre x en facteur puis diviser par le coefficient non nul.
Vérifier la solution en la remplaçant dans l'équation initiale.

Exemple 1

Résoudre 2x + 3 = 7.

Soustraire 3 des deux côtés : 2x = 7 − 3 = 4.
Diviser par 2 : x = 4 / 2 = 2.
Vérification : 2·2 + 3 = 4 + 3 = 7 ✓

Cas particuliers

Considérons une équation de la forme 0·x + b = c :

Si b = c : toutes les réels sont solutions (identité).
Si b ≠ c : aucune solution (contradiction).

Exemple : 0·x + 5 = 5 → toutes les valeurs de x conviennent ; 0·x + 3 = 5 → pas de solution.

Résolution d'inéquations linéaires

On procède comme pour une équation : on effectue les mêmes opérations des deux côtés, sauf qu'il faut inverser le sens de l'inégalité lorsqu'on multiplie ou divise par un nombre négatif.

Exemple 2

Résoudre −2x + 5 > 1.

Soustraire 5 : −2x > 1 − 5 = −4.
Diviser par −2 (négatif) et inverser l'inégalité : x < (−4)/(−2) = 2.
Solution : x < 2.

On peut représenter l'ensemble des solutions sur une droite numérique ou l'écrire en intervalle : pour x < 2 → (−∞, 2).

Conseils et erreurs fréquentes

Ne pas oublier d'inverser le sens de l'inégalité lors d'une multiplication ou division par un nombre négatif.
Vérifier les solutions dans l'équation d'origine ; attention aux fractions et aux opérations avec zéro.
Quand le coefficient de x devient 0, regarder si l'égalité est toujours vraie (infinies solutions) ou fausse (aucune solution).

Exercices rapides

Résoudre : 3x − 4 = 11.
Résoudre : 5 − 2x ≤ 1.
Résoudre : 4(x − 1) = 2x + 6.
Déterminer les solutions de : 0·x + 2 = 2 et 0·x + 2 = 3.

Corrections (rapides)

3x − 4 = 11 → 3x = 15 → x = 5.
5 − 2x ≤ 1 → −2x ≤ −4 → diviser par −2 (inversion) x ≥ 2 → [2, +∞).
4x − 4 = 2x + 6 → 4x − 2x = 6 + 4 → 2x = 10 → x = 5.
0·x + 2 = 2 → toutes les réels ; 0·x + 2 = 3 → aucune solution.