Calcul littéral et équations : Résolution d’équations et inéquations du premier degré

Introduction

En 2nde, on apprend à résoudre des équations et des inéquations du premier degré. Ces notions permettent de déterminer la valeur inconnue qui vérifie une égalité ou une inégalité.

Partie 1 : Résolution d’une équation du premier degré

Une équation du premier degré est une égalité contenant une variable \( x \) sous une forme algébrique simple, comme par exemple :

• \( 3x + 2 = 11 \)
• \( -2x + 5 = 1 \)

Étapes pour résoudre une équation :

1. Développer si nécessaire.
2. Réunir les termes en \( x \) d’un côté de l’équation.
3. Réunir les constantes de l’autre côté.
4. Diviser pour isoler \( x \).

Exemple :

Résoudre l’équation \( 3x + 2 = 11 \) :

1. \( 3x + 2 = 11 \) \qquad (écriture initiale)
2. Soustraire 2 des deux côtés : \( 3x + 2 - 2 = 11 - 2 \) \(\Rightarrow 3x = 9 \)
3. Diviser par 3 : \( rac{3x}{3} = rac{9}{3} \) \(\Rightarrow x = 3 \)

Partie 2 : Résolution d’une inéquation du premier degré

Une inéquation du premier degré est une expression du type :

• \( 2x - 3 < 7 \)
• \( -x + 4 \geq 2 \)

Étapes pour résoudre une inéquation :

1. Procéder comme pour une équation en manipulant chaque membre.
2. Respecter le sens de l’inégalité lors de la multiplication ou division par un nombre négatif (inverser le symbole).

Exemple :

Résoudre \( -2x + 5 > 1 \) :

1. \( -2x + 5 > 1 \)
2. Soustraire 5 : \( -2x + 5 - 5 > 1 - 5 \) \(\Rightarrow -2x > -4 \)
3. Diviser par -2 (sens de l’inégalité changé) : \(rac{-2x}{-2} < rac{-4}{-2}\) \(\Rightarrow x < 2 \)

Résumé

• Il faut toujours effectuer des opérations inverses pour isoler la variable.
• Lors de la multiplication ou division par un nombre négatif, il faut inverser le sens de l’inégalité.
• Les solutions sont souvent exprimées sous forme d’ensembles :
• Par exemple : \( x = 3 \) ou \( x < 2 \).

En résumé, maîtriser la résolution d’équations et d’inéquations du premier degré est essentiel pour comprendre des situations concrètes et résoudre des problèmes mathématiques.