Savoir manipuler des expressions algébriques permet de traduire, simplifier et résoudre des problèmes numériques en utilisant des lettres comme des boîtes à remplir.

Calcul littéral — Utilisation d'expressions algébriques

Public : classe de 3ème. Durée estimée : 30–45 min.

Objectifs

Comprendre ce qu'est une expression algébrique et ses composants (variable, coefficient, terme).
Savoir développer, réduire, factoriser et remplacer une variable par un nombre.
Utiliser ces compétences pour résoudre des équations simples et traduire des situations concrètes.

Notions clés

Expression algébrique

Définition : une expression algébrique est une somme, différence ou produit de nombres et de lettres (variables). Par exemple \(3x+2\) ou \(2(a+b)\).

Monôme, polynôme, terme

Un monôme est une seule expression comme \(5x^2\) ou \(-3a\). Un polynôme est la somme de plusieurs monômes, par exemple \(x^2+2x-3\). Un terme désigne chaque monôme d'un polynôme.

Développer et réduire

Développer consiste à supprimer les parenthèses grâce à la distributivité : \(a(b+c)=ab+ac\). Réduire consiste à combiner les termes semblables (mêmes puissances de la variable).

Factoriser

Factoriser, c'est écrire une somme comme un produit. Par exemple, extraire le facteur commun : \(6x+9=3(2x+3)\).

Quel est le coefficient du terme \( -7xy \) ?

\(-7\)
\(-7\)
\(xy\)

Le coefficient multiplie les variables ; ici le coefficient est \(-7\), les variables sont \(x\) et \(y\).

Exemples résolus

Exemple 1 — développer, réduire puis évaluer

Calculer puis évaluer pour \(x=2\) : \(2(x+3)-4x\).

Voir la solution

Étape 1 : développer avec la distributivité.

Étape 2 : réduire en combinant les termes semblables.

Étape 3 : remplacer \(x\) par \(2\) et calculer.

Calcul détaillé :

\begin{align} 2(x+3)-4x & = 2x+6-4x \\ & = -2x+6. \end{align}

Pour \(x=2\) :

\[ -2\times 2 + 6 = -4 + 6 = 2. \]

Exemple 2 — factoriser

Factoriser \(6x+9\) puis \(x^2+5x+6\).

Voir la solution

Pour \(6x+9\) : on cherche le plus grand facteur commun, ici \(3\).

\[ 6x+9 = 3(2x+3). \]

Pour \(x^2+5x+6\) : on cherche deux nombres dont le produit est \(6\) et la somme est \(5\), ce sont \(2\) et \(3\).

\[ x^2+5x+6 = (x+2)(x+3). \]

Quelle est la factorisation de \(8x^2+4x\) ?

\(4x(2x+1)\)
\(2x(4x+1)\)
\(8x(x+\tfrac{1}{2})\)

On prend le plus grand commun diviseur qui est \(4x\), il reste \(2x+1\).

Résolution d'équation simple (schéma et exemple)

Schéma : équilibre d'une équation (visualisation d'une balance). Le schéma montre l'idée d'égalité, on effectue la même opération des deux côtés.

Exemple : résoudre \(2x+3=7\).

Soustraire \(3\) des deux côtés pour isoler \(2x\).

Diviser par \(2\) pour obtenir \(x\).

\begin{align} 2x+3 & = 7 \\ 2x & = 7-3 = 4 \\ x & = \frac{4}{2} = 2. \end{align}

Après avoir soustrait 3 des deux côtés, que vaut \(2x\) ?

\(2x=7-3=4\), donc la réponse est \(4\).

Erreurs fréquentes

Oublier d'appliquer une opération des deux côtés d'une équation.
Ne pas combiner que les termes semblables (ex. ne pas additionner \(2x\) et \(3\)).
Mauvaise utilisation de la distributivité : \(2(x+3)\) n'est pas \(2x+3\) mais \(2x+6\).

Lequel des calculs suivants est correct ?

\(2(x+3) = 2x+6\)
\(2(x+3) = 2x+3\)
\(2(x+3) = x+6\)

Appliquer la distributivité : multipliez chaque terme par \(2\), on obtient \(2x+6\).

Visualiser une fonction linéaire (outil interactif)

Changer les paramètres permet de voir comment la pente et l'ordonnée à l'origine agissent sur la droite.

Récapitulatif rapide

Expression algébrique = lettres (variables) + opérations.
Développer = retirer les parenthèses (distributivité).
Réduire = combiner termes semblables.
Factoriser = écrire comme produit (extraire un facteur commun ou factoriser un trinôme).
Remplacer une variable par un nombre permet de calculer une valeur numérique.

Cartes mémo

Variable

Symbole qui représente un nombre (ex. \(x\)).

Coefficient

Nombre qui multiplie une variable (ex. \(5\) dans \(5x\)).

Développer

Appliquer \(a(b+c)=ab+ac\) pour enlever les parenthèses.

Factoriser

Écrire une somme comme un produit (ex. \(6x+9=3(2x+3)\)).

Réduire

Combiner les termes semblables pour simplifier l'expression.