Calcul matriciel - Cours pour le lycée en vue du bac

Introduction

Le calcul matriciel est une branche des mathématiques qui concerne l'utilisation des matrices pour effectuer des opérations comme la addition, la multiplication, ou encore le calcul de l'inverse, permettant de résoudre des systèmes d'équations ou de transformer des vecteurs.

Définition d'une matrice

Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres organisé en lignes et colonnes. On note une matrice \(A\) de dimension \(m imes n\) comme suit :

  A = egin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ 
  a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ 
  \vdots & \vdots & & \vdots \\ 
  a_{m1} & a_{m2} & \vdots & \vdots
\end{bmatrix}

Opérations de base

1. Addition

Deux matrices \(A\) et \(B\) de même dimension s'additionnent élément par élément :

  C = A + B

avec \(c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}\).

2. Multiplication par un scalaire

Multiplier une matrice \(A\) par un nombre \(k\) se fait en multipliant chaque élément :

  B = k 	imes A

avec \(b_{ij} = k imes a_{ij}\).

3. Produit de matrices

Si \(A\) est de dimension \(m imes n\) et \(B\) de dimension \(n imes p\), alors le produit \(C = AB\) est une matrice de dimension \(m imes p\), dont les éléments sont :

  c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} 	imes b_{kj}

Inverse d'une matrice

Une matrice carrée \(A\) de dimension \(n imes n\) possède une inverse \(A^{-1}\) si et seulement si son déterminant est non nul :

  \det(A) 
eq 0

La matrice inverse vérifie :

  AA^{-1} = A^{-1}A = I_n  \quad 	ext{(la matrice identité)}

Déterminant d'une matrice 2x2

Pour une matrice :

  A = egin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

son déterminant est :

  \det(A) = ad - bc

Système d'équations et matrices

Un système linéaire peut s'écrire sous forme matricielle :

  	extbf{AX} = 	extbf{B}

où \( extbf{A}\) est la matrice des coefficients, \( extbf{X}\) le vecteur inconnu, et \( extbf{B}\) le vecteur des constantes. La solution est donnée par :

  	extbf{X} = A^{-1} 	imes 	extbf{B}\quad 	ext{(si }A^{-1}	ext{ existe)}

Résumé

• Les matrices permettent de représenter et de manipuler des systèmes d'équations et des transformations.
• Les opérations fondamentales sont l'addition, la multiplication par un scalaire, et le produit matriciel.
• L'inversion d'une matrice est essentielle pour résoudre certains systèmes.