Calcul matriciel - Cours synthétique

Calcul matriciel - Thème : Sujet Bac

Introduction

Le calcul matriciel est une méthode qui permet de manipuler des tableaux de nombres appelés matrices. Cela simplifie de nombreux calculs en algèbre, notamment pour résoudre des systèmes d’équations ou transformer des vecteurs.

Les matrices : définitions essentielles

Matricielle : tableau rectangulaire de nombres (lignes et colonnes).
Une matrice notée \(A\) de dimensions \(m imes n\) a \(m\) lignes et \(n\) colonnes.

Opérations fondamentales

Addition et soustraction

Deux matrices de mêmes dimensions (\(m imes n\)) peuvent s'additionner ou se soustraire en additionnant ou soustrayant leurs éléments correspondants :

\[A = egin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}, \quad B = egin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}\] \[A + B = egin{bmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} \ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} \end{bmatrix}\]

Multiplication par un scalaire

Multiplier une matrice \(A\) par un nombre \(k\) revient à multiplier chaque élément de \(A\) par \(k\) :

\[k imes A = egin{bmatrix} k imes a_{11} & k imes a_{12} \ k imes a_{21} & k imes a_{22} \end{bmatrix}\]

Produit de deux matrices

Le produit \(A imes B\) est défini si le nombre de colonnes de \(A\) est égal au nombre de lignes de \(B\). Le résultat est une nouvelle matrice :

pour \(A\) de dimension \(m imes n\) et \(B\) de dimension \(n imes p\), le produit est une matrice de dimension \(m imes p\).
Chaque élément se calcule en faisant la somme des produits des éléments d’une ligne de \(A\) par ceux d’une colonne de \(B\) :

\[ (A imes B)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} imes b_{kj} \]

Propriétés importantes

Associativité : \((A imes B) imes C = A imes (B imes C)\)
Distributivité : \(A imes (B + C) = A imes B + A imes C\)
Multiplication par l'identité : \(A imes I = A\), où \(I\) est la matrice identité.

Matrice identité

Une matrice identité \(I_n\) est une matrice carrée de dimension \(n imes n\), avec 1 sur la diagonale et 0 ailleurs :

\[ I_3 = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

Inverse d’une matrice

Une matrice carrée \(A\) (de dimension \(n imes n\)) est inversible si il existe une matrice \(A^{-1}\) telle que :

\[ A imes A^{-1} = I_n \] La recherche de l’inverse se fait à l’aide de méthodes spécifiques en fonction de la dimension.

Conclusion

Le calcul matriciel est un outil puissant en mathématiques, permettant de simplifier de nombreux problèmes. La maîtrise des opérations de base est essentielle, notamment en résolution de systèmes ou en transformations géométriques.