Calcul vectoriel et produit scalaire : Définition par projection et par le cosinus

Introduction

Le produit scalaire est une opération entre deux vecteurs qui permet de mesurer leur "alignement". Il existe deux définitions principales : par projection et par le cosinus de l'angle entre eux.

Définition par projection

Considérons deux vecteurs \(ec{u}\) et \(ec{v}\) dans un espace vectoriel. La projection de \(ec{v}\) sur \(ec{u}\) est la composante de \(ec{v}\) alignée avec \(ec{u}\).

La longueur de cette projection est donnée par :

| 	ext{proj}_{ec{u}}(ec{v}) | = \left| rac{ec{v} \cdot ec{u}}{\left| ec{u} 
ight|} 
ight|\

Ce qui permet de définir le produit scalaire :

\(ec{v} \cdot ec{u} = |ec{v}| |ec{u}| \cos 	heta\)

où \( heta\) est l'angle entre \(ec{u}\) et \(ec{v}\).

Définition par le cosinus de l'angle

Le produit scalaire peut aussi être défini à partir de l'angle \( heta\) entre deux vecteurs :

\[\ ec{u} \cdot ec{v} = |ec{u}| |ec{v}| \cos 	heta \]\

où :

\( |ec{u}| \) et \( |ec{v}| \) sont les modules (longueurs) des vecteurs ;
\( heta\) est l'angle entre \(ec{u}\) et \(ec{v}\).

Cette formule montre que le produit scalaire est lié à la projection de l’un des vecteurs sur l’autre, et à leur orientation relative.

Applications

Calculer l’angle entre deux vecteurs :

\[\ \cos 	heta = rac{ec{u} \cdot ec{v}}{|ec{u}| |ec{v}|} \]

Vérifier si deux vecteurs sont orthogonaux :

\[\ ec{u} \cdot ec{v} = 0 \Rightarrow 	ext{orthogonal}\]