Introduction

Le produit scalaire est une opération entre deux vecteurs qui permet de mesurer leur "alignement". Il existe deux définitions principales : par projection et par le cosinus de l'angle entre eux.

Définition par projection

Considérons deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) dans un espace vectoriel. La projection de \(\vec{v}\) sur \(\vec{u}\) est la composante de \(\vec{v}\) alignée avec \(\vec{u}\).

La longueur de cette projection est donnée par :

| \text{proj}_{\vec{u}}(\vec{v}) | = \left| \frac{\vec{v} \cdot \vec{u}}{\left| \vec{u} \right|} \right|\

Ce qui permet de définir le produit scalaire :

\[\vec{v} \cdot \vec{u} = |\vec{v}| |\vec{u}| \cos \theta\]

où \(\theta\) est l'angle entre \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).

Définition par le cosinus de l'angle

Le produit scalaire peut aussi être défini à partir de l'angle \(\theta\) entre deux vecteurs :

\[\ \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos \theta \]\

où :

• \( |\vec{u}| \) et \( |\vec{v}| \) sont les modules (longueurs) des vecteurs ;
• \(\theta\) est l'angle entre \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).

Cette formule montre que le produit scalaire est lié à la projection de l’un des vecteurs sur l’autre, et à leur orientation relative.

Applications

• Calculer l’angle entre deux vecteurs :

\[\ \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}\]

• Vérifier si deux vecteurs sont orthogonaux :

\[\ \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \Rightarrow \text{orthogonal}\]