Calcul vectoriel et produit scalaire : Définition par projection et par le cosinus

Introduction

Le produit scalaire est une opération entre deux vecteurs qui permet de mesurer leur relation en termes d'orientation et de longueur. Deux définitions principales existent : par projection et par le cosinus.

1. Définition par projection

Soient deux vecteurs \(ec{u}\) et \(ec{v}\). La projection de \(ec{v}\) sur \(ec{u}\) est la partie de \(ec{v}\) qui s'étend dans la direction de \(ec{u}\).

La projection de \(ec{v}\) sur \(ec{u}\) est donnée par :

  \(	ext{proj}_{ec{u}}(ec{v}) = \left(rac{ec{v} \cdot ec{u}}{\|ec{u}\|^{2}}
ight) ec{u}\)

2. Définition par le produit scalaire et le cosinus

Le produit scalaire de deux vecteurs \(ec{u}\) et \(ec{v}\) peut également être défini à travers le cosinus de l'angle entre eux :

  \(ec{u} \cdot ec{v} = \|ec{u}\| 	imes \|ec{v}\| 	imes \cos 	heta\)

où \( heta\) est l'angle entre \(ec{u}\) et \(ec{v}\).

3. Expression du produit scalaire

Le produit scalaire peut aussi s'écrire en coordonnées vectorielles :

  \(ec{u} = (u_1, u_2, u_3)\), \(ec{v} = (v_1, v_2, v_3)\)

et :

  \(ec{u} \cdot ec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3\)

4. Conclusion

Ces deux définitions permettent d'analyser la relation entre deux vecteurs, que ce soit par leur projection ou par leur angle, et sont fondamentales en géométrie vectorielle.