Calcul vectoriel et produit scalaire : Formule d’Al-Kashi et résolution géométrique

Ce cours explique comment utiliser la formule d’Al-Kashi avec les vecteurs pour résoudre des problèmes géométriques.

Objectifs

Comprendre la formule d’Al-Kashi dans le cadre du calcul vectoriel.
Savoir appliquer cette formule pour résoudre des problèmes géométriques.
Maîtriser la résolution géométrique à l’aide du produit scalaire.

Notions clés

Vérification du théorème d’Al-Kashi avec le produit scalaire.
Relation entre le produit scalaire et le cosinus de l’angle entre deux vecteurs.
Résolution géométrique par projection et parallélisme.

Formule d’Al-Kashi avec vecteurs

Pour trois points \(A\), \(B\) et \(C\), en considérant les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\), la formule d’Al-Kashi s’écrit :

Étape 1 : Considérons le triangle \(ABC\) avec \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\).

Étape 2 : Le carré du côté \(BC\) s’exprime en fonction des vecteurs :

Étape 3 : La formule s’écrit :

\[ \textbf{Cosinus de l’angle } \theta \text{ en } A : \] \[ |\vec{AB}|^2 + |\vec{AC}|^2 - 2 |\vec{AB}| |\vec{AC}| \cos \theta = |\vec{BC}|^2 \]

Ce qui revient à dire :

\[ |\vec{AB}|^2 + |\vec{AC}|^2 - |\vec{BC}|^2 = 2 |\vec{AB}| |\vec{AC}| \cos \theta \]

En utilisant le produit scalaire, on peut écrire :

\[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| |\vec{AC}| \cos \theta \]

Ainsi, la formule d’Al-Kashi devient :

\[ |\vec{BC}|^2 = |\vec{AB}|^2 + |\vec{AC}|^2 - 2 \, \vec{AB} \cdot \vec{AC} \]

Exemple résolu

Dans un triangle avec les points :

\(A(0,0)\)
\(B(3,4)\)
\(C(6,0)\)

Calculons la longueur du côté \(BC\) en utilisant la formule d’Al-Kashi.

Calcul des vecteurs :

\[\ \vec{AB} = (3 - 0, 4 - 0) = (3,4) \]
\[\ \vec{AC} = (6 - 0, 0 - 0) = (6,0) \]
\[\ \vec{BC} = (6 - 3, 0 - 4) = (3, -4) \]

Calcul des longueurs :

\[ |\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \]
\[ |\vec{AC}| = \sqrt{6^2 + 0^2} = 6 \]
\[ |\vec{BC}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5 \]

Calcul du produit scalaire :

\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 3 \times 6 + 4 \times 0 = 18

Application de la formule :

\[\ |\vec{BC}|^2 = |\vec{AB}|^2 + |\vec{AC}|^2 - 2 \times \vec{AB} \cdot \vec{AC}\]
\[ 25 = 25 + 36 - 2 \times 18 \]
\[ 25 = 25 + 36 - 36 \]
\[ 25 = 25 \quad \text{(Vérification confirmée)} \]

Voir la solution complète

La longueur du segment \(\left[ BC \right]\) est donc \( |\vec{BC}| = 5 \).

Erreurs fréquentes

Oublier la racine carrée pour la longueur des vecteurs.
Utiliser une somme au lieu d’un produit scalaire dans la formule d’Al-Kashi.
Confondre vecteurs et longueurs : ils ne sont pas toujours égaux.
Ne pas respecter l’ordre des points dans le calcul du vecteur à partir de leurs coordonnées.

Récapitulatif

Formule d’Al-Kashi

\( |\vec{AB}|^2 + |\vec{AC}|^2 - |\vec{BC}|^2 = 2 |\vec{AB}| |\vec{AC}| \cos \theta \)

Produit scalaire

\( \vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| |\vec{AC}| \cos \theta \)

Longueur d’un vecteur

\( |\vec{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \)