1. Introduction au calcul vectoriel

Le calcul vectoriel permet de représenter des grandeurs ayant à la fois une magnitude et une direction. Un vecteur se note généralement \u2202\u{1D} ou \(\vec{u}\).

2. Produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), noté \(\vec{u} \cdot \vec{v}\), est défini par :

\n    \[\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos \theta\]\n

où \(\theta\) est l'angle entre \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), et \(|\vec{u}|\), \(|\vec{v}|\) leurs longueurs.

En composantes cartésiennes, si \(\vec{u} = (u_1, u_2)\) et \(\vec{v} = (v_1, v_2)\) :

\n    \[\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2\]\n

3. La formule d’Al-Kashi

La formule d’Al-Kashi permet de déterminer l’angle \(\theta\) entre deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) en utilisant leurs longueurs et leur produit scalaire :

\n    \[\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}\]\n

Elle est aussi appelée loi des cosinus en géométrie :

\n    \[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma\]\n

où \(a, b, c\) sont les longueurs des côtés du triangle, et \(\gamma\) l’angle opposé au côté \(c\).

4. Résolution géométrique à l’aide de la formule d’Al-Kashi

Supposons que dans un triangle \(\triangle ABC\), on connaisse les longueurs des côtés \(AB, AC, BC\).

Pour calculer l’angle \(\angle A\), on applique la formule :

\n    \[ \cos \angle A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\]\n

où \(a = BC\), \(b = AC\), et \(c = AB\).

Cette méthode permet également de déterminer si un triangle est acutangle, rectangle ou obtusangle en analysant \(\cos \angle A\), \(\cos \angle B\) et \(\cos \angle C\).