Calcul vectoriel : Norme, angle et orthogonalité

1. La norme d'un vecteur

La norme d'un vecteur à deux dimensions étant u = (x, y), se note ||u|| et se calcule comme :

• Norme : ||u|| = √(x^2 + y^2)

Elle représente la longueur du vecteur dans le plan.

2. Conversion en norme

Pour un vecteur u = (x, y), si ||u|| = 5, alors :

• La longueur est 5, et on peut déduire :
• que x^2 + y^2 = 25

3. L'angle entre deux vecteurs

Soient deux vecteurs u = (x_1, y_1) et v = (x_2, y_2). L'angle étudié se note θ et se calcule via le produit scalaire :

• Produit scalaire : u · v = x_1x_2 + y_1y_2

La formule pour l'angle θ entre u et v :

• · θ : cos(θ) = · (u · v) / (||u|| × ||v||)

Et donc :

• θ = arccos((u · v) / (||u|| × ||v||))

4. Orthogonalité

Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul :

• u · v = 0

Dans ce cas, l'angle θ entre eux est 90° ou θ = π/2.

Résumé

• Norme : mesure la longueur d'un vecteur.
• Produit scalaire : permet de calculer l'angle entre deux vecteurs.
• Orthogonalité : deux vecteurs sont perpendiculaires si leur produit scalaire est nul.