1. La norme d'un vecteur

La norme d'un vecteur \(\vec{u} = (u_1, u_2, u_3)\) est une valeur positive qui mesure sa longueur ou sa magnitude. Elle se note \(\|\vec{u}\|\) et se calcule par :

\[\|\vec{u}\| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}\]

Par exemple, pour \(\vec{u} = (3, 4, 12)\), sa norme est : \(\|\vec{u}\| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13\).

2. L'angle entre deux vecteurs

Si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont deux vecteurs non nuls, l'angle \(\theta\) entre eux est défini par la formule :

\[\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|}\]

où \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) est le produit scalaire, calculé par :

\[\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3\]

Pour déterminer l'angle :

1. Calculer le produit scalaire \(\vec{u} \cdot \vec{v}\).
2. Calculer les normes \(\|\vec{u}\|\) et \(\|\vec{v}\|\).
3. Appliquer la formule pour \(\cos \theta\), puis utiliser une fonction trigonométrique inverse pour obtenir \(\theta\).

3. L'orthogonalité (perpétualité)

Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul :

\[\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\]

Exemple : \(\vec{u} = (1, 0, 0)\) et \(\vec{v} = (0, 1, 0)\) sont orthogonaux car leur produit scalaire est :

\[1 \times 0 + 0 \times 1 + 0 \times 0 = 0\]