1. La norme d'un vecteur

La norme d'un vecteur \(ec{u} = (u_1, u_2, u_3)\) est une valeur positive qui mesure sa longueur ou sa magnitude. Elle se note \(\|ec{u}\|\) et se calcule par :

\[ \|ec{u}\| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2} \]

Par exemple, pour \(ec{u} = (3, 4, 12)\), sa norme est : \(\|ec{u}\| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13\).

2. L'angle entre deux vecteurs

Si \(ec{u}\) et \(ec{v}\) sont deux vecteurs non nuls, l'angle \( heta\) entre eux est défini par la formule :

\[ \cos 	heta = rac{ec{u} \cdot ec{v}}{\|ec{u}\| 	imes \|ec{v}\|} \]

où \(ec{u} \cdot ec{v}\) est le produit scalaire, calculé par :

\[ ec{u} \cdot ec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 \]

Pour déterminer l'angle :

1. Calculer le produit scalaire \(ec{u} \cdot ec{v}\).
2. Calculer les normes \(\|ec{u}\|\) et \(\|ec{v}\|\).
3. Appliquer la formule pour \(\cos heta\), puis utiliser une fonction trigonométrique inverse pour obtenir \( heta\).

3. L'orthogonalité (perpétualité)

Deux vecteurs \(ec{u}\) et \(ec{v}\) sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul :

\[ ec{u} \cdot ec{v} = 0 \]

Exemple : \(ec{u} = (1, 0, 0)\) et \(ec{v} = (0, 1, 0)\) sont orthogonaux car leur produit scalaire est :

\[ 1 	imes 0 + 0 	imes 1 + 0 	imes 0 = 0 \]