Calculer avec des quotients dans R : fractions, puissances et racines au dénominateur
Calculer avec des quotients dans \(\mathbb{R}\) : fractions, puissances et racines au dénominateur
Dans \(\mathbb{R}\), presque tous les calculs difficiles sont des quotients : en appliquant pas à pas les règles des fractions, des puissances et des racines, on obtient toujours une écriture simple, sans racine au dénominateur.
Objectifs
- Additionner, multiplier et diviser des fractions de réels en respectant les priorités.
- Simplifier un quotient de puissances, y compris avec des exposants négatifs.
- Écrire un quotient sans racine carrée au dénominateur (expression conjuguée).
- Réduire au même dénominateur une expression avec une lettre, en indiquant les valeurs interdites.
Notions clés
- Quotient : \(\dfrac{a}{b}\) n'existe que si \(b \neq 0\) ; on ne divise jamais par 0.
- Règles des fractions (avec \(b \neq 0\), \(d \neq 0\)) : \(\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad + bc}{bd}\), \(\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}\), \(\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}\) (si \(c \neq 0\)).
- Exposant négatif : pour \(a \neq 0\), \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\) et \(\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\).
- Racines et quotients : pour \(a \ge 0\) et \(b > 0\), \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\).
- Expression conjuguée : \(\sqrt{a} - b\) et \(\sqrt{a} + b\) ; leur produit vaut \(a - b^2\), sans racine.
1. Étape 1 : les fractions, sans se tromper
Pour additionner deux fractions, on les écrit d'abord avec le même dénominateur, puis on additionne les numérateurs :
\[ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} \]La moitié du champ, ce sont 3 sixièmes : on colorie 3 parts sur 6.
Le tiers du champ, ce sont 2 sixièmes : on colorie 2 parts de plus.
En tout, 5 parts sur 6 sont données : 1/2 + 1/3 = 5/6, et il reste 1/6 du champ.
Priorités : comme pour les entiers, on calcule d'abord les multiplications et divisions, puis les additions et soustractions, de gauche à droite, sauf parenthèses.
Diviser, c'est multiplier par l'inverse : \(\dfrac{3}{4} \div \dfrac{9}{8} = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{8}{9} = \dfrac{24}{36} = \dfrac{2}{3}\).
Combien vaut 1/2 + 1/3 ?
2. Étape 2 : quotients de puissances
Pour \(a \neq 0\) et \(m\), \(n\) entiers relatifs :
\[ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \qquad \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \ (b \neq 0) \]Exemple : \(\dfrac{10^{-3}}{10^{-6}} = 10^{-3-(-6)} = 10^{3} = 1\,000\) : on aligne mille bactéries sur la goutte.
Méthode : regrouper les puissances d'un même nombre, soustraire les exposants (exposant du haut moins exposant du bas), puis calculer.
Que vaut 2 puissance −3 ?
3. Étape 3 : chasser la racine du dénominateur
Cas 1 : une seule racine en bas. On multiplie le numérateur et le dénominateur par cette racine :
\[ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]Cas 2 : une somme ou une différence en bas. On multiplie en haut et en bas par l'expression conjuguée, et on utilise \((x - y)(x + y) = x^2 - y^2\) :
\[ (\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2) = 5 - 4 = 1 \]Quelle est l'écriture de 6/√3 sans racine au dénominateur ?
4. Étape 4 : quotients avec une lettre
Avant de calculer, on cherche les valeurs interdites : celles qui annulent un dénominateur. Ici \(x \neq 0\) et \(x \neq -2\). Ensuite, on réduit au même dénominateur, comme avec des nombres :
\[ \frac{2}{x} - \frac{3}{x+2} = \frac{2(x+2)}{x(x+2)} - \frac{3x}{x(x+2)} = \frac{2x + 4 - 3x}{x(x+2)} = \frac{4 - x}{x(x+2)} \]Pour contrôler, on remplace \(x\) par une valeur permise, par exemple \(x = 1\) : à gauche \(2 - 1 = 1\) ; à droite \(\dfrac{4 - 1}{1 \times 3} = 1\). Les deux concordent.
Quelles sont les valeurs interdites de l'expression 5 / (x(x − 4)) ?
Exemples résolus
Exemple 1 : respecter les priorités
Calcule \(A = \dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{6} \times \dfrac{4}{15}\) et donne le résultat sous forme irréductible. Cherche d'abord.
Exemple 2 : un quotient de puissances
Calcule \(B = \dfrac{2^5 \times 3^{-2}}{2^3 \times 3^{-4}}\), puis \(C = \dfrac{6 \times 10^{-3}}{2 \times 10^{-5}}\).
Voir la solution
\begin{align} B &= 2^{5-3} \times 3^{-2-(-4)} = 2^{2} \times 3^{2} = 4 \times 9 = 36\\ C &= \frac{6}{2} \times 10^{-3-(-5)} = 3 \times 10^{2} = 300 \end{align}Exemple 3 : l'expression conjuguée
Écris \(D = \dfrac{1}{\sqrt{3} - 1}\) sans racine au dénominateur.
Exemple 4 : le trajet de Seydou
Réduis au même dénominateur \(T(x) = \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{x+2}\) pour \(x > 0\), puis calcule le temps total si \(x = 4\ \text{km/h}\).
Voir la solution
\[ T(x) = \frac{2(x+2) + 3x}{x(x+2)} = \frac{5x + 4}{x(x+2)} \]Pour \(x = 4\) : \(T(4) = \dfrac{5 \times 4 + 4}{4 \times 6} = \dfrac{24}{24} = 1\). Seydou met 1 heure. Vérification directe : \(\dfrac{2}{4} + \dfrac{3}{6} = 0{,}5 + 0{,}5 = 1\).
Erreurs fréquentes
- Additionner numérateurs et dénominateurs : \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \neq \dfrac{2}{5}\).
- Croire qu'un exposant négatif rend le nombre négatif : \(2^{-3} = \dfrac{1}{8} > 0\).
- Simplifier une somme : dans \(\dfrac{x + 2}{x}\), on ne « barre » pas les \(x\) ; on ne simplifie que des facteurs.
- Écrire \(\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}\) : faux en général.
- Oublier les valeurs interdites avant de transformer une expression avec une lettre.
Récapitulatif
- Fractions : même dénominateur pour additionner ; diviser = multiplier par l'inverse ; priorités respectées.
- Puissances : \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\) et \(\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\).
- Racine au dénominateur : multiplier par la racine, ou par l'expression conjuguée.
- Avec une lettre : valeurs interdites d'abord, puis même dénominateur, puis contrôle avec une valeur.
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