Calculer des distances dans un repère : méthode et problèmes
Calculer des distances dans un repère : méthode et problèmes
Pour calculer une distance dans un repère orthonormé, on suit toujours la même méthode en quatre temps (écarts, carrés, somme, racine), puis on s'en sert pour comparer des distances, calculer un périmètre ou retrouver un point.
Objectifs
- Appliquer sans erreur la méthode en quatre temps pour calculer une longueur \( AB \) à partir des coordonnées de \( A \) et de \( B \).
- Comparer deux distances en comparant leurs carrés, sans calculer de racine.
- Calculer le périmètre d'un polygone et reconnaître un losange grâce aux longueurs de ses côtés.
- Retrouver la coordonnée inconnue d'un point quand on connaît une distance.
1. Notion clé : la méthode en quatre temps
Dans un repère orthonormé (axes perpendiculaires, même unité sur les deux axes), on considère deux points \( A(x_A \,;\, y_A) \) et \( B(x_B \,;\, y_B) \). Le segment \( [AB] \) est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent l'écart horizontal et l'écart vertical. Le théorème de Pythagore donne :
On part de A et on avance horizontalement jusqu'à l'abscisse de B : l'écart horizontal vaut 6.
On monte verticalement jusqu'à B : l'écart vertical vaut 8, et on obtient un angle droit.
Le segment [AB] est l'hypoténuse : d'après Pythagore, AB² = 6² + 8² = 100, donc AB = 10.
Exemple résolu 1 : le client de Kouassi
Kouassi est au point \( K(-3 \,;\, 2) \) et le client au point \( C(5 \,;\, -4) \). L'unité vaut 100 m. À quelle distance à vol d'oiseau se trouve le client ? Cherche d'abord, puis déroule les étapes.
Avec \( A(1 \,;\, 1) \) et \( B(4 \,;\, 5) \), que vaut \( AB \) ?
2. Comparer des distances sans calculer de racine
Une distance est toujours positive. Or, pour des nombres positifs, le plus grand est celui qui a le plus grand carré. Pour comparer deux distances, il suffit donc de comparer leurs carrés, ce qui évite de calculer des racines qui ne tombent pas juste.
Exemple résolu 2 : la boutique de Fanta
Voir la solution
\[ FQ^2 = (4-1)^2 + (5-1)^2 = 9 + 16 = 25 \] \[ FR^2 = (6-1)^2 + (2-1)^2 = 25 + 1 = 26 \]Comme \( 25 < 26 \), on a \( FQ < FR \) : la boutique \( Q \) est la plus proche. On n'a même pas eu besoin de calculer \( \sqrt{26} \).
On sait que \( AB^2 = 40 \) et \( AC^2 = 34 \). Que peut-on conclure ?
3. Périmètre d'un polygone et nature d'une figure
Le périmètre d'un polygone est la somme des longueurs de ses côtés. Dans un repère, on calcule chaque côté avec la formule de la distance, puis on additionne. Les longueurs obtenues renseignent aussi sur la nature de la figure : quatre côtés de même longueur, c'est un losange.
Exemple résolu 3 : le champ de Monsieur Sawadogo
Calcule le périmètre du champ, sa nature, puis le prix du grillage. Cherche d'abord.
Le triangle de sommets \( E(0 \,;\, 0) \), \( F(6 \,;\, 0) \) et \( G(3 \,;\, 4) \) a pour périmètre :
4. Retrouver un point quand on connaît une distance
Si l'on cherche un point \( P(4 \,;\, y) \) tel que \( MP = 5 \), on écrit l'égalité des carrés \( MP^2 = 25 \) et on cherche \( y \). Un nombre positif a deux nombres dont le carré lui est égal : par exemple \( 4^2 = 16 \) et \( (-4)^2 = 16 \). Il peut donc y avoir deux réponses.
Exemple résolu 4 : où creuser le puits ?
On cherche \( N(x \,;\, 0) \) avec \( x \) positif tel que \( ON = 7 \), où \( O \) est l'origine. Que vaut \( x \) ?
5. Erreurs fréquentes
Pour \( A(-2 \,;\, 3) \) et \( B(1 \,;\, -1) \), quel calcul est correct ?
6. Récapitulatif
- Formule (repère orthonormé) : \( AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \), calculée en quatre temps : écarts, carrés, somme, racine.
- Pour comparer deux distances, on compare leurs carrés.
- Le périmètre d'un polygone est la somme des longueurs de ses côtés ; quatre côtés égaux indiquent un losange.
- Pour retrouver une coordonnée, on écrit l'égalité des carrés ; il peut y avoir deux solutions.
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