Calculer des puissances : carrés, cubes et astuces de calcul mental

Une puissance est une multiplication répétée du même nombre : je la calcule pas à pas, je connais par cœur les carrés et les cubes usuels, j'utilise des astuces de calcul mental et je vérifie à la calculatrice.

Objectifs

Lire et écrire une puissance \(a^n\) et l'écrire sous forme de produit.
Calculer des carrés et des cubes, de tête ou par écrit.
Utiliser des stratégies de calcul mental pour aller plus vite.
Vérifier un résultat avec la calculatrice.

1. Ce que veut dire \(a^n\)

Pour un nombre \(a\) et un nombre entier \(n\) supérieur ou égal à 2, la puissance \(a^n\) est le produit de \(n\) facteurs tous égaux à \(a\) :

\[a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ facteurs}}\]

\(a\) s'appelle la base et \(n\) l'exposant. On lit \(a^n\) : « \(a\) exposant \(n\) » ou « \(a\) puissance \(n\) ».
\(a^2\) se lit « \(a\) au carré » : c'est l'aire d'un carré de côté \(a\).
\(a^3\) se lit « \(a\) au cube » : c'est le volume d'un cube d'arête \(a\).
Par convention, \(a^1 = a\).

Un carré de 3 cases de côté contient 3 rangées de 3 cases : \(3^2 = 3 \times 3 = 9\).

Un cube de 2 petits cubes d'arête contient 2 couches de \(2 \times 2\) petits cubes : \(2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8\).

Que vaut \(5^3\) ?

\(5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 25 \times 5 = 125\). La réponse 15 correspond à l'erreur \(5 \times 3\).

2. Calculer pas à pas et connaître les résultats usuels

Pour calculer une puissance, on multiplie de proche en proche, en gardant le résultat intermédiaire :

\begin{align} 3^4 &= 3 \times 3 \times 3 \times 3\\ &= 9 \times 3 \times 3\\ &= 27 \times 3\\ &= 81 \end{align}

Les carrés de 1 à 15 et les cubes de 1 à 6 sont à connaître par cœur :

\(n\)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
\(n^2\)	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144	169	196	225

\(n\)	1	2	3	4	5	6
\(n^3\)	1	8	27	64	125	216

Lequel de ces calculs est juste ?

\(4^3 = 64\)
\(2^3 = 9\)
\(6^2 = 12\)

\(4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 16 \times 4 = 64\). En revanche \(2^3 = 8\) et \(6^2 = 36\).

3. Astuces de calcul mental

Astuce 1 : doubler pour les puissances de 2

Chaque fois qu'on augmente l'exposant de 1, on multiplie par 2 : \(2^1 = 2\), \(2^2 = 4\), \(2^3 = 8\), \(2^4 = 16\), \(2^5 = 32\), \(2^6 = 64\), \(2^7 = 128\), \(2^8 = 256\), \(2^9 = 512\), \(2^{10} = 1\,024\).

Astuce 2 : passer par le carré

Une puissance d'exposant 4 est le carré d'un carré : \(3^4 = (3 \times 3) \times (3 \times 3) = 9 \times 9 = 81\).

Astuce 3 : les nombres qui se terminent par 5

Pour un nombre comme 35, on multiplie le chiffre des dizaines par le nombre qui le suit, puis on écrit 25 à droite : pour \(35^2\), \(3 \times 4 = 12\), donc \(35^2 = 1\,225\). De même, \(65^2\) : \(6 \times 7 = 42\), donc \(65^2 = 4\,225\).

Astuce 4 : décomposer

Pour \(21^2\), on écrit \(21 \times 21 = 21 \times 20 + 21 \times 1 = 420 + 21 = 441\).

Astuce 5 : contrôler le chiffre des unités

Le chiffre des unités de \(a^2\) ne dépend que de celui de \(a\). Par exemple, \(17^2\) se termine par 9 car \(7 \times 7 = 49\). Si on trouve 287 pour \(17^2\), on sait déjà que c'est faux (la bonne réponse est 289).

Avec l'astuce des nombres terminés par 5, que vaut \(45^2\) ?

1 625
1 645
2 025

\(4 \times 5 = 20\), puis on écrit 25 : \(45^2 = 2\,025\). On peut vérifier : \(45 \times 45 = 45 \times 40 + 45 \times 5 = 1\,800 + 225 = 2\,025\).

4. Vérifier à la calculatrice

Pour un carré : taper le nombre puis la touche \(x^2\). Exemple : 12 puis \(x^2\) affiche 144.
Pour un autre exposant : taper la base, la touche puissance (notée ^, \(x^y\) ou \(y^x\) selon le modèle), puis l'exposant et =. Exemple : 3 ^ 4 = affiche 81.
Sans touche puissance : taper \(3 \times 3 \times 3 \times 3\) en comptant bien les facteurs.

Ama tape « 7 ^ 3 = ». Quel résultat doit s'afficher ?

\(7^3 = 7 \times 7 \times 7 = 49 \times 7 = 343\). 21 serait \(7 \times 3\) et 49 serait \(7^2\).

Exemples résolus

Exemple 1 : le carrelage de la cour

La cour mesure 12 carreaux de côté et un carreau coûte 250 F CFA. Combien de carreaux faut-il et quel est le prix total ?

Étape 1 : la cour est carrée, le nombre de carreaux est \(12^2 = 12 \times 12 = 144\).

Étape 2 : prix total : \(144 \times 250\). On calcule \(144 \times 250 = 144 \times 1\,000 \div 4 = 144\,000 \div 4 = 36\,000\).

Étape 3 : vérification à la calculatrice : 12 \(x^2\) donne 144, puis \(144 \times 250 = 36\,000\). Il faut 144 carreaux, pour 36 000 F CFA.

Exemple 2 : la boîte de morceaux de sucre

Une boîte cubique contient 5 morceaux de sucre sur chaque arête, rangés en cube. Combien de morceaux contient-elle ? Cherche d'abord.

Voir la solution

\begin{align} 5^3 &= 5 \times 5 \times 5\\ &= 25 \times 5\\ &= 125 \end{align}

La boîte contient 5 couches de \(5 \times 5 = 25\) morceaux, soit 125 morceaux.

Exemple 3 : calcul mental de \(2^8\)

Voir la solution

On double à partir de \(2^4 = 16\) : \(2^5 = 32\), \(2^6 = 64\), \(2^7 = 128\), \(2^8 = 256\). Autre méthode : \(2^8 = 2^4 \times 2^4 = 16 \times 16 = 256\).

Erreurs fréquentes

Récapitulatif

\(a^n\) est le produit de \(n\) facteurs égaux à \(a\) ; \(a\) est la base, \(n\) l'exposant.
Carré : \(a^2 = a \times a\) (aire d'un carré). Cube : \(a^3 = a \times a \times a\) (volume d'un cube).
On calcule de proche en proche ; on connaît par cœur les carrés jusqu'à 15 et les cubes jusqu'à 6.
Astuces : doubler pour les puissances de 2, passer par le carré, nombres terminés par 5, décomposer, contrôler les unités.
On vérifie avec la touche \(x^2\) ou la touche puissance de la calculatrice, après avoir estimé le résultat.

Puissance \(a^n\)

Produit de \(n\) facteurs égaux à \(a\).

Base et exposant

Dans \(a^n\), \(a\) est la base (le nombre multiplié), \(n\) l'exposant (le nombre de facteurs).

Carré

\(a^2 = a \times a\), par exemple \(9^2 = 81\).

Cube

\(a^3 = a \times a \times a\), par exemple \(3^3 = 27\).

Astuce du 5

Pour \(35^2\) : \(3 \times 4 = 12\), puis 25, donc 1 225.