Objectifs

• Lire et écrire une puissance : la base et l'exposant.
• Calculer un carré et un cube, et connaître les plus utiles par cœur.
• Utiliser des stratégies de calcul mental pour aller vite sans se tromper.
• Vérifier un résultat avec la calculatrice, après l'avoir estimé.

1. Qu'est-ce qu'une puissance ?

Quand on multiplie un nombre par lui-même plusieurs fois, on écrit une puissance :

• \(a\) est la base : le nombre que l'on multiplie.
• \(n\) est l'exposant : il dit combien de fois la base apparaît dans la multiplication.

Exemples : \(3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81\) se lit « 3 puissance 4 » ; \(10^2 = 10 \times 10 = 100\).

Deux puissances ont un nom spécial :

• \(a^2 = a \times a\) se lit « \(a\) au carré » ;
• \(a^3 = a \times a \times a\) se lit « \(a\) au cube ».

Enfin, \(a^1 = a\) : avec un seul facteur, il n'y a rien à multiplier.

C'est pour cela qu'on dit « au carré » : \(4^2\) est le nombre de petits carreaux dans un carré de 4 carreaux de côté. De même, \(a^3\) est le nombre de petits cubes dans un grand cube de \(a\) petits cubes d'arête.

2. Les carrés et les cubes à connaître

Exemple résolu 1 : une puissance de 2

Calcule \(2^5\). Cherche d'abord, puis déroule les étapes.

Exemple résolu 2 : une aire et un volume

Moussa possède un champ carré de 30 m de côté près de Kaya. Il range ses outils dans une caisse en forme de cube de 5 dm d'arête. Calcule l'aire du champ et le volume de la caisse.

3. Stratégies de calcul mental

Astuce 1 : enchaîner les multiplications

On calcule une puissance de proche en proche, en gardant le résultat précédent : \(3^4\) : \(3 \to 9 \to 27 \to 81\). Chaque flèche est « fois 3 ».

Astuce 2 : les nombres terminés par 0

Pour \(30^2\), on calcule \(3^2 = 9\), puis on ajoute deux zéros (un pour chaque 10) : \(30^2 = 900\). De même \(20^3\) : \(2^3 = 8\), puis trois zéros : \(20^3 = 8\,000\).

Astuce 3 : les nombres terminés par 5

Pour le carré d'un nombre qui se termine par 5, on multiplie le chiffre des dizaines par son suivant, puis on écrit 25 à droite :

Vérification : \(25 \times 25 = 25 \times 20 + 25 \times 5 = 500 + 125 = 625\).

Astuce 4 : décomposer le nombre

Pour \(12^2\), on écrit \(12 = 10 + 2\) et on distribue :

Exemple résolu 3 : choisir la bonne astuce

Calcule de tête \(45^2\), \(40^2\) et \(2 \times 3^2\).

4. Vérifier avec la calculatrice

Sur la plupart des calculatrices de collège :

• la touche \(x^2\) calcule un carré : on tape 7, puis \(x^2\), puis = : l'écran affiche 49 ;
• la touche ^ (parfois notée \(x^y\) ou \(y^x\)) calcule une puissance quelconque : on tape la base, puis ^, puis l'exposant, puis = . Pour \(2^5\) : 2, ^, 5, = donne 32.

Exemple résolu 4 : estimer puis vérifier

Calcule \(19^2\) et vérifie le résultat.

Erreurs fréquentes

• Multiplier la base par l'exposant : \(5^2 = 10\) est faux, \(5^2 = 25\).
• Oublier un facteur en enchaînant : \(2^4\) a quatre facteurs 2, donc \(2^4 = 16\), et non 8.
• Appliquer la puissance à tout le produit : \(2 \times 3^2 = 18\), et non 36.
• Mal placer la virgule : \(0{,}3^2 = 0{,}09\), et non \(0{,}9\).
• Inverser base et exposant sur la calculatrice : \(2^3 = 8\) mais \(3^2 = 9\).

Récapitulatif

• \(a^n\) est le produit de \(n\) facteurs égaux à \(a\) : \(a\) est la base, \(n\) l'exposant.
• \(a^2\) se lit « \(a\) au carré », \(a^3\) se lit « \(a\) au cube ».
• Carrés de 1 à 12 et cubes de 1 à 5 : à connaître par cœur.
• Calcul mental : enchaîner, ajouter les zéros, astuce du 5, décomposer.
• Toujours estimer avant d'utiliser la calculatrice, puis comparer.