Calculer une puissance pas à pas : lire, développer, enchaîner, contrôler

Pour calculer une puissance, on la lit (base et exposant), on l'écrit comme une multiplication répétée, on multiplie de proche en proche, puis on contrôle le résultat.

Objectifs

Repérer la base et l'exposant d'une puissance et la lire correctement.
Calculer une puissance en suivant une méthode en quatre étapes.
Construire « l'escalier » des puissances d'un nombre pour aller plus vite.
Calculer une expression qui mélange une puissance et une multiplication.
Contrôler un résultat (ordre de grandeur, chiffre des unités, calculatrice).

Notions clés

Étape 1 : lire la puissance

Une puissance s'écrit \(a^n\). Le nombre \(a\), écrit en grand, est la base : c'est le nombre que l'on multiplie. Le petit nombre \(n\), écrit en haut à droite, est l'exposant : il indique combien de facteurs \(a\) on multiplie entre eux.

\[ a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ facteurs}} \]

\(7^2\) se lit « 7 au carré » ou « 7 puissance 2 ».
\(4^3\) se lit « 4 au cube » ou « 4 puissance 3 ».
\(2^5\) se lit « 2 puissance 5 » ou « 2 exposant 5 ».
\(9^1 = 9\) : avec un seul facteur, la puissance est égale à la base.

Dans \(3^5\), quel est l'exposant ?

L'exposant est le petit nombre en haut à droite : 5. Il dit qu'on multiplie 5 facteurs égaux à 3.

Étape 2 : développer en multiplication

On remplace la puissance par la multiplication qu'elle représente, en écrivant autant de facteurs que l'exposant. On compte les facteurs une fois écrits.

\[ 5^3 = 5 \times 5 \times 5 \qquad 2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \]

Étape 3 : multiplier de proche en proche

On ne calcule pas tout d'un coup. On multiplie les deux premiers facteurs, puis on multiplie le résultat par la base, et ainsi de suite. À chaque étape, on a calculé une puissance de plus.

\begin{align} 3^4 &= 3 \times 3 \times 3 \times 3 \\ &= 9 \times 3 \times 3 \\ &= 27 \times 3 \\ &= 81 \end{align}

Cette idée donne « l'escalier des puissances » : pour monter d'une marche, on multiplie par la base.

On part de 2 et on multiplie par 2 : on obtient 2² = 4.

On multiplie encore 4 par 2 : 2³ = 8.

8 fois 2 donne 2⁴ = 16 : inutile de recommencer depuis le début.

16 fois 2 donne 2⁵ = 32. Chaque marche réutilise la précédente.

Étape 4 : contrôler le résultat

Trois contrôles rapides évitent la plupart des erreurs :

Le chiffre des unités : il ne dépend que du chiffre des unités de la base. Par exemple, une puissance de 5 se termine toujours par 5 et une puissance de 6 toujours par 6.
L'ordre de grandeur : \(4^3\) doit être plus grand que \(3^3 = 27\) et plus petit que \(5^3 = 125\).
La calculatrice : touche \(x^2\) pour un carré, touche ^ (ou \(x^y\) selon le modèle) pour les autres exposants. On tape la base, la touche, puis l'exposant.

Ibrahim calcule \(4^3\) et trouve 12. Quel contrôle montre tout de suite qu'il s'est trompé ?

12 est un nombre pair.
12 est plus petit que 100.
\(4^3\) doit être plus grand que \(3^3 = 27\).

Comme 4 est plus grand que 3, \(4^3\) est plus grand que 27 : 12 est donc impossible. Le bon résultat est \(4 \times 4 \times 4 = 64\), qui est lui aussi pair et plus petit que 100 : ces deux remarques ne prouvent donc rien.

La méthode en un schéma

flowchart LR
A[Lire base et exposant] --> B[Ecrire les facteurs]
B --> C[Multiplier de proche en proche]
C --> D[Controler le resultat]

Une puissance au milieu d'un calcul

Dans un calcul sans parenthèses, on calcule d'abord la puissance, puis les multiplications, puis les additions et soustractions. La puissance ne porte que sur le nombre placé juste sous l'exposant.

\[ 2 \times 5^2 = 2 \times 25 = 50 \qquad \text{mais} \qquad (2 \times 5)^2 = 10^2 = 100 \]

Combien vaut \(3 + 2^3\) ?

On calcule d'abord la puissance : \(2^3 = 8\), puis \(3 + 8 = 11\). Le résultat 125 correspond à \((3+2)^3\), et 9 à l'erreur \(3 + 2 \times 3\).

Exemples résolus

Exemple 1 : calculer \(5^3\) avec les quatre étapes

Cherche d'abord, puis dévoile les étapes.

Lire : la base est 5, l'exposant est 3. On multiplie trois facteurs égaux à 5.

Développer : \(5^3 = 5 \times 5 \times 5\).

Enchaîner : \(5 \times 5 = 25\), puis \(25 \times 5 = 125\).

Contrôler : 125 se termine par 5, comme toute puissance de 5 ; et 125 est bien compris entre \(4^3 = 64\) et \(6^3 = 216\). Donc \(5^3 = 125\).

Exemple 2 : le message transféré

Kofi, à Lomé, envoie une blague à 3 amis. Au tour suivant, chacun de ces amis l'envoie à 3 nouvelles personnes, et ainsi de suite. Combien de personnes reçoivent la blague au 4e tour ?

Voir la solution

Au 1er tour : 3 personnes. Au 2e tour : chacune des 3 en prévient 3, soit \(3 \times 3 = 3^2 = 9\). Au 3e tour : \(9 \times 3 = 3^3 = 27\). Au 4e tour : \(27 \times 3 = 3^4 = 81\).

\[ 3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81 \]

Au 4e tour, 81 personnes reçoivent la blague. Contrôle : \(3^4 = 9 \times 9 = 81\), on retrouve le même résultat.

Exemple 3 : le gazon d'une cour carrée

À Dakar, une école veut couvrir de gazon une cour carrée de 15 m de côté. Le gazon coûte 500 F CFA le mètre carré. Quel est le prix total ?

L'aire d'un carré est son côté au carré : \(15^2 = 15 \times 15\).

On décompose : \(15 \times 15 = 15 \times 10 + 15 \times 5 = 150 + 75 = 225\). L'aire est \(225 \text{ m}^2\).

Prix : \(225 \times 500 = 112\,500\). Le gazon coûte 112 500 F CFA.

Contrôle : \(15^2\) est entre \(10^2 = 100\) et \(20^2 = 400\) ; 225 convient, et il se termine par 5 comme 15.

Exemple 4 : comparer \(2^5\) et \(5^2\)

Fatou pense que \(2^5\) et \(5^2\) sont égaux « parce que ce sont les mêmes chiffres ». A-t-elle raison ?

Voir la solution

\[ 2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32 \qquad 5^2 = 5 \times 5 = 25 \]

Non : \(32 \neq 25\). Échanger la base et l'exposant change en général le résultat. Ici, \(2^5\) est le plus grand.

Une boîte cubique a des arêtes de 4 dm. Quel est son volume ?

\(64 \text{ dm}^3\)
\(12 \text{ dm}^3\)
\(16 \text{ dm}^3\)

Le volume d'un cube est son arête au cube : \(4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64\). 12 vient de l'erreur \(4 \times 3\), et 16 est \(4^2\), l'aire d'une seule face.

Erreurs fréquentes

Écrire un facteur de trop ou de moins : pour \(2^4\), il faut exactement 4 facteurs 2. Compte-les après les avoir écrits.
Confondre \(2^5\) et \(5^2\) : 32 et 25 sont différents.
Calculer de gauche à droite sans priorité : \(2 \times 5^2 = 50\), et non \(10^2 = 100\).
Taper l'exposant avant la base à la calculatrice : on tape d'abord la base, puis la touche puissance, puis l'exposant.

Récapitulatif

\(a^n\) est le produit de \(n\) facteurs égaux à \(a\) ; \(a\) est la base, \(n\) l'exposant.
Méthode : lire, développer, multiplier de proche en proche, contrôler.
Pour passer de \(a^n\) à la puissance suivante, on multiplie par \(a\).
Dans un calcul, la puissance se calcule avant la multiplication et l'addition.
Résultats utiles : \(2^{10} = 1\,024\), \(3^4 = 81\), \(4^3 = 64\), \(5^3 = 125\), \(12^2 = 144\), \(15^2 = 225\).

Base et exposant

Dans \(a^n\), \(a\) est le nombre multiplié et \(n\) le nombre de facteurs.

Les 4 étapes

Lire, développer, multiplier de proche en proche, contrôler.

L'escalier des puissances

Pour monter d'un exposant, on multiplie par la base : \(2^5 = 2^4 \times 2 = 32\).

Priorité de la puissance

\(2 \times 5^2 = 2 \times 25 = 50\) : la puissance d'abord.

Contrôler

Chiffre des unités, ordre de grandeur, calculatrice.