Calculs avec des grandeurs : Produits et quotients

Introduction

En mathématiques, une grandeur est une quantité mesurable, exprimée en unités (par exemple : mètres, kilogrammes, secondes). Lorsqu'on manipule des grandeurs, il est important de connaître comment effectuer des opérations comme la multiplication et la division.

Produit de deux grandeurs

Le produit de deux grandeurs est une différente opération qui consiste à multiplier leur valeur numérique, en conservant une unité adaptée.

Si \( A \) et \( B \) sont deux grandeurs avec :

• \( A \) ayant pour valeur \( a \) et unité \( U_1 \),
• \( B \) ayant pour valeur \( b \) et unité \( U_2 \),

alors leur produit \( C = A imes B \) est une grandeur dont :

• la valeur numérique est \( a imes b \),
• l'unité est le produit des unités \( U_1 imes U_2 \).

Exemple :

Si un coureur parcourt \( 10 \) kilomètres en \( 2 \) heures, la vitesse est :

\( v = 10\, ext{km} \div 2\, ext{h} = 5\, ext{km/h} \).

Mais si l’on veut connaître la distance parcourue en une heure à vitesse constante, on calcule :

\( d = v imes t = 5\, ext{km/h} imes 1\, ext{h} = 5\, ext{km} \)

Quotient de deux grandeurs

Le quotient de deux grandeurs est leur division :

Si \( A \) a pour valeur \( a \) et unité \( U_1 \), et \( B \) a pour valeur \( b \) et unité \( U_2 \), alors leur quotient \( Q = A \div B \) possède :

• une valeur : \( a \div b \),
• une unité : \( U_1 \div U_2 \), l’unité est le résultat de la division des unités

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Exemple :

Si une voiture consomme 8 litres de carburant pour parcourir 120 km, la consommation par km est :

\( c = rac{8\, ext{l}}{120\, ext{km}} = rac{2}{30}\, ext{l/km} = rac{1}{15}\, ext{l/km} \)

Ici, l’unité se simplifie du litre par kilomètre.

Résumé

• Le produit de deux grandeurs multiplie leurs valeurs et combine leurs unités.
• Le quotient divise leurs valeurs et divise leurs unités.

Conclusion

Les opérations de multiplication et de division avec des grandeurs nécessitent de faire attention à l’unité. Il faut toujours garder une cohérence dans le résultat, en combinant ou simplifiant les unités si nécessaire.