Introduction

Les vecteurs sont des objets mathématiques qui ont une direction, un sens et une norme. En 3ème, on apprend à faire des calculs avec eux, comme l'addition, la soustraction, le produit par un scalaire et le produit scalaire.

1. Addition et soustraction de vecteurs

Si \(ec{u}\) et \(ec{v}\) sont deux vecteurs, leur somme \(ec{u} + ec{v}\) se calcule en additionnant leurs composantes : si \(ec{u} = (u_1, u_2)\) et \(ec{v} = (v_1, v_2)\), alors :

\[ ec{u} + ec{v} = (u_1 + v_1, u_2 + v_2) \]

De même, pour la soustraction :

\[ ec{u} - ec{v} = (u_1 - v_1, u_2 - v_2) \]

2. Multiplication d'un vecteur par un scalaire

Multipliez un vecteur \(ec{u} = (u_1, u_2)\) par un nombre \(k\) (scalaire) :

\[ k imes ec{u} = (k u_1, k u_2) \]

Ce qui modifie la longueur du vecteur sans changer sa direction, sauf si \(k\) est négatif, auquel cas le vecteur est inversé.

3. Produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs \(ec{u} = (u_1, u_2)\) et \(ec{v} = (v_1, v_2)\) est défini par :

\[ ec{u} \cdot ec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 \]

Ce produit permet de calculer l'angle entre deux vecteurs ou de vérifier si un vecteur est orthogonal à un autre.

Calcul de l'angle

Si \( heta\) est l'angle entre \(ec{u}\) et \(ec{v}\), alors :

\[ \cos heta = rac{ec{u} \cdot ec{v}}{\|ec{u}\| imes \|ec{v}\|} \]

où \(\|ec{u}\|\) est la norme (longueur) du vecteur :

\[ \|ec{u}\| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2} \]