Des rapports écrits dans le même ordre permettent de trouver une longueur puis de contrôler sa cohérence.

Calculs de longueurs avec Thalès

Objectifs

Choisir deux rapports utiles.
Résoudre une proportion.
Vérifier unités et ordre des points.

Choisir les rapports correspondants

Dans le triangle non aplati \(ABC\), on place \(M\) sur \([AB]\), \(N\) sur \([AC]\), avec \((MN)\parallel(BC)\). Le théorème de Thalès donne :

\[\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}.\]

On garde toujours le même sens : petite longueur sur grande longueur. Choisis deux rapports contenant une seule inconnue, puis mets toutes les longueurs dans la même unité.

M est placé sur le côté AB et N sur le côté AC, dans un ordre cohérent à partir de A.

Le segment MN est parallèle à BC. Cette information est une hypothèse ; un dessin seul ne la prouve pas.

Quel rapport correspond à \(\frac{AM}{AB}\) ?

\(\frac{AC}{AN}\)
\(\frac{AN}{AC}\)
\(\frac{AM}{AC}\)

Les côtés issus du même sommet se correspondent ; le sens du rapport reste identique.

Calculer une longueur du petit triangle

On donne \(AB=3\), \(AM=1{,}8\), \(AC=5\), avec les alignements et le parallélisme de la figure. Calcule \(AN\).

Voir la solution après avoir cherché

Par Thalès, \(\frac{1{,}8}{3}=\frac{AN}{5}\).

Le facteur de réduction est \(k=\frac{1{,}8}{3}=0{,}6\).

\(AN=5\times0{,}6=3\,\mathrm{cm}\).

Contrôle : \(AN<AC\), ce qui convient puisque \(N\) est entre \(A\) et \(C\).

Avec \(BC=4\,\mathrm{cm}\) dans ce même exercice, que vaut \(MN\) ?

\(2{,}4\,\mathrm{cm}\)
\(6{,}4\,\mathrm{cm}\)
\(4{,}6\,\mathrm{cm}\)

\(MN=0{,}6\times4=2{,}4\,\mathrm{cm}\).

Retrouver une grande longueur et un morceau de côté

Nouvelle donnée fictive : \(AM=1{,}8\,\mathrm{cm}\), \(AN=3\,\mathrm{cm}\), \(AC=5\,\mathrm{cm}\). Calcule \(AB\), puis \(MB\), dans la configuration précédente.

Voir la solution après avoir cherché

\(\frac{1{,}8}{AB}=\frac35\). Le produit en croix donne \(3AB=9\).

\(AB=3\,\mathrm{cm}\).

Puisque \(M\in[AB]\), \(MB=AB-AM=3-1{,}8=1{,}2\,\mathrm{cm}\).

On vérifie \(AM+MB=1{,}8+1{,}2=3=AB\).

Pourquoi ne pas écrire directement \(MB=AM+AB\) ?

Parce que M est entre A et B et que AB est la longueur totale
Parce qu’aucune addition n’est autorisée
Parce que Thalès ne concerne jamais MB

L’ordre des points détermine la bonne relation entre les morceaux du segment.

Erreurs fréquentes

Récapitulatif

Repère les conditions, écris deux rapports cohérents, calcule puis contrôle la taille et l’unité du résultat.

Cartes mémo : cherche avant de retourner

Rapports correspondants

\(AM/AB\), \(AN/AC\) et \(MN/BC\).

Facteur

Même multiplicateur pour les longueurs correspondantes.

Produit en croix

Procédé pour résoudre une égalité de fractions dont les dénominateurs sont non nuls.

Contrôle

Vérifier les conditions, l’unité et la position du point.