Calculs emboîtés et simplification de fractions

Pour venir à bout d'un calcul à crochets, à barres de fraction ou à puissances, on travaille de l'intérieur vers l'extérieur ; pour simplifier une fraction, on ne barre que des facteurs communs, jamais des termes.

Objectifs

Calculer une expression avec parenthèses et crochets emboîtés, puissances et signes.
Traiter une barre de fraction comme une parenthèse.
Simplifier une fraction numérique grâce à la décomposition en facteurs et aux puissances.
Simplifier une fraction littérale en factorisant, et réduire au même dénominateur.

1. Parenthèses et crochets emboîtés

Quand une expression contient plusieurs niveaux de parenthèses, on note souvent les niveaux extérieurs avec des crochets \([\ ]\). On calcule :

la parenthèse la plus intérieure, puis le niveau suivant ;
dans chaque niveau, les puissances, puis les multiplications et divisions, puis les additions et soustractions.

Exemple résolu 1

Calcule \(A = 3 - [2 - (5 - 8)] \times 2\). Cherche d'abord.

Parenthèse intérieure : \(5 - 8 = -3\), donc \(A = 3 - [2 - (-3)] \times 2\).

Crochet : \(2 - (-3) = 2 + 3 = 5\), donc \(A = 3 - 5 \times 2\).

Multiplication : \(5 \times 2 = 10\), donc \(A = 3 - 10 = -7\).

Combien vaut \(10 - [4 - (1 - 3)]\) ?

\(8\)
\(4\)
\(12\)

\(1 - 3 = -2\), puis \(4 - (-2) = 6\), puis \(10 - 6 = 4\). La réponse 8 vient de l'erreur \(4 - 2\) au lieu de \(4 + 2\).

Combien vaut \(-(-3)^2\) ?

\(-9\)
\(9\)
\(-6\)

On calcule d'abord la puissance : \((-3)^2 = 9\), puis on prend l'opposé : \(-9\).

2. La barre de fraction est une parenthèse

Une barre de fraction regroupe tout son numérateur et tout son dénominateur :

\[ \frac{a + b}{c + d} = (a + b) \div (c + d) \]

Exemple résolu 2

Calcule \(B = \dfrac{2 - 3 \times 4}{5 - (-1)^2 \times 9}\).

Voir la solution

Numérateur : la multiplication d'abord, \(3 \times 4 = 12\), puis \(2 - 12 = -10\).

Dénominateur : la puissance d'abord, \((-1)^2 = 1\), puis \(1 \times 9 = 9\), puis \(5 - 9 = -4\).

\begin{align} B &= \frac{-10}{-4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} \end{align}

Le quotient de deux nombres négatifs est positif.

3. Simplifier une fraction numérique

On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même facteur non nul :

\[ \frac{k \times a}{k \times b} = \frac{a}{b} \qquad (k \neq 0,\ b \neq 0) \]

Méthode sûre : décomposer en produit de facteurs premiers, puis supprimer les facteurs communs. Avec des puissances, on utilise \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) quand \(m \geq n\) et \(a \neq 0\).

Exemple résolu 3

Simplifie \(C = \dfrac{84}{126}\) puis \(D = \dfrac{2^5 \times 3^2}{2^3 \times 3^3}\).

Décomposition : \(84 = 2^2 \times 3 \times 7\) et \(126 = 2 \times 3^2 \times 7\).

Facteurs communs : \(2 \times 3 \times 7 = 42\). On divise : \(C = \frac{84 \div 42}{126 \div 42} = \frac{2}{3}\).

Pour \(D\) : \(\frac{2^5}{2^3} = 2^2 = 4\) et \(\frac{3^2}{3^3} = \frac{1}{3}\), donc \(D = \frac{4}{3}\).

Quelle est la forme simplifiée de \(\frac{2^4 \times 5}{2^2 \times 5^2}\) ?

\(\frac{4}{5}\)
\(\frac{2}{5}\)
\(\frac{8}{5}\)

\(\frac{2^4}{2^2} = 2^2 = 4\) et \(\frac{5}{5^2} = \frac{1}{5}\) : la fraction vaut \(\frac{4}{5}\).

4. Simplifier une fraction littérale

Pour simplifier une fraction contenant une lettre :

flowchart LR
A[Factoriser le numerateur] --> B[Factoriser le denominateur]
B --> C[Reperer un facteur commun]
C --> D[Simplifier par ce facteur]
D --> E[Noter les valeurs interdites]

Exemple résolu 4

Simplifie \(E = \dfrac{4x^2 - 8x}{4x}\) pour \(x \neq 0\) et \(F = \dfrac{x^2 - 9}{x + 3}\) pour \(x \neq -3\).

Voir la solution

On factorise le numérateur de \(E\) par \(4x\) :

\begin{align} E &= \frac{4x(x - 2)}{4x} = x - 2 \end{align}

Pour \(F\), on reconnaît l'identité \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\) avec \(a = x\) et \(b = 3\) :

\begin{align} F &= \frac{(x - 3)(x + 3)}{x + 3} = x - 3 \end{align}

Ces simplifications ne sont valables que pour les valeurs de \(x\) qui n'annulent pas le dénominateur.

Laquelle de ces simplifications est correcte ?

\(\frac{x + 6}{3} = x + 2\)
\(\frac{3x + 6}{3} = x + 6\)
\(\frac{3x + 6}{3} = x + 2\)

\(3x + 6 = 3(x + 2)\) : le facteur 3 se simplifie et il reste \(x + 2\). Dans la première, 3 n'est pas un facteur du numérateur ; dans la deuxième, on a oublié de diviser le 6.

5. Réduire au même dénominateur

On écrit chaque fraction avec le même dénominateur, puis on additionne les numérateurs, en mettant les numérateurs entre parenthèses quand ils contiennent plusieurs termes :

\[ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd} \qquad (b \neq 0,\ d \neq 0) \]

Exemple résolu 5

Écris \(G = \dfrac{x}{2} - \dfrac{x - 1}{3}\) sous la forme d'une seule fraction.

Dénominateur commun : \(6\). On écrit \(\frac{x}{2} = \frac{3x}{6}\) et \(\frac{x - 1}{3} = \frac{2(x - 1)}{6}\).

On soustrait tout le second numérateur, entre parenthèses : \(G = \frac{3x - 2(x - 1)}{6}\).

On développe avec soin : \(-2(x - 1) = -2x + 2\), donc \(G = \frac{3x - 2x + 2}{6} = \frac{x + 2}{6}\).

Contrôle avec \(x = 0\) : \(\frac{0}{2} - \frac{-1}{3} = \frac{1}{3}\) et \(\frac{0 + 2}{6} = \frac{1}{3}\). Les deux écritures concordent.

À quoi est égal \(\frac{x}{2} - \frac{x - 1}{3}\) ?

\(\frac{x - 2}{6}\)
\(\frac{x + 2}{6}\)
\(\frac{1}{6}\)

\(\frac{3x - 2(x - 1)}{6} = \frac{x + 2}{6}\). La réponse \(\frac{x - 2}{6}\) oublie que le signe moins s'applique aussi au \(-1\).

Erreurs fréquentes

Commencer par les crochets extérieurs au lieu de la parenthèse la plus intérieure.
Diviser seulement une partie du numérateur : la barre de fraction regroupe tout.
Barrer un terme au lieu d'un facteur : \(\frac{x + 6}{3} \neq x + 2\).
Oublier les parenthèses autour d'un numérateur soustrait : \(-\frac{x - 1}{3}\) donne \(-x + 1\) au numérateur.
Oublier les valeurs interdites après une simplification.

Récapitulatif

Calcul emboîté : de l'intérieur vers l'extérieur, en respectant les priorités à chaque niveau.
La barre de fraction agit comme une parenthèse autour du numérateur et du dénominateur.
On ne simplifie une fraction que par un facteur commun : décomposer ou factoriser d'abord.
Même dénominateur, numérateurs entre parenthèses, puis contrôle avec une valeur simple.

Calcul emboîté

Parenthèse la plus intérieure d'abord, puis on remonte.

Barre de fraction

Elle regroupe tout le numérateur et tout le dénominateur.

Simplifier une fraction

Diviser haut et bas par un même facteur non nul.

Terme ou facteur ?

Seuls les facteurs se simplifient : \(\frac{3(x + 2)}{3} = x + 2\).

Même dénominateur

\(\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}\).