Racine carrée : calculs et simplifications

On calcule une racine carrée exactement quand le nombre est un carré parfait, on en donne sinon une valeur approchée (à la main ou à la calculatrice), et on simplifie en « sortant » les carrés de sous le radical.

Objectifs

Reconnaître les carrés parfaits et calculer leur racine carrée de tête.
Encadrer une racine carrée entre deux entiers, puis donner une valeur approchée.
Utiliser la calculatrice et arrondir correctement.
Utiliser \(\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\) et \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) pour simplifier une racine carrée.

1. Les carrés parfaits

Les carrés parfaits jusqu'à 400, à connaître par cœur :

\[ 1,\ 4,\ 9,\ 16,\ 25,\ 36,\ 49,\ 64,\ 81,\ 100,\ 121,\ 144,\ 169,\ 196,\ 225,\ 256,\ 289,\ 324,\ 361,\ 400 \]

Ce sont les carrés de \(1, 2, 3, \dots, 20\). On en déduit d'autres racines exactes :

\[ \sqrt{0{,}25} = 0{,}5 \ \text{ car } 0{,}5^2 = 0{,}25 \qquad \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4} \ \text{ car } \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16} \qquad \sqrt{10\,000} = 100 \]

Lequel de ces nombres est un carré parfait ?

\(50\)
\(150\)
\(169\)

\(169 = 13 \times 13\), donc \(\sqrt{169} = 13\). En revanche 50 est entre \(49 = 7^2\) et \(64 = 8^2\), et 150 entre \(144 = 12^2\) et \(169 = 13^2\).

2. Encadrer et approcher une racine carrée

Encadrer entre deux entiers

On cherche les deux carrés parfaits qui entourent le nombre. Comme \(16 < 20 < 25\), on a \(\sqrt{16} < \sqrt{20} < \sqrt{25}\), donc :

\[ 4 < \sqrt{20} < 5 \]

Affiner au dixième

On essaie les carrés des nombres 4,1 ; 4,2 ; … : \(4{,}4^2 = 19{,}36\) et \(4{,}5^2 = 20{,}25\). Comme \(19{,}36 < 20 < 20{,}25\) :

\[ 4{,}4 < \sqrt{20} < 4{,}5 \]

Avec la calculatrice

On utilise la touche \(\sqrt{\phantom{a}}\) : la calculatrice affiche \(\sqrt{20} \approx 4{,}472135955\). On arrondit ensuite selon la précision demandée :

au dixième : \(\sqrt{20} \approx 4{,}5\) (le chiffre suivant, 7, est supérieur ou égal à 5) ;
au centième : \(\sqrt{20} \approx 4{,}47\) (le chiffre suivant est 2).

Le côté de la pièce de Fatou mesure donc environ 4,47 m.

Manipule

Voici la courbe \(y = x^2\) et la droite horizontale \(y = n\). Règle \(n\) : l'abscisse positive du point d'intersection est \(\sqrt{n}\). Pour \(n = 20\), lis qu'elle se situe entre 4 et 5, un peu avant le milieu.

Exemple résolu. Encadrer \(\sqrt{55}\) entre deux entiers consécutifs, puis en donner l'arrondi au dixième.

Voir la solution

\(49 < 55 < 64\), donc \(7 < \sqrt{55} < 8\).

La calculatrice donne \(\sqrt{55} \approx 7{,}416\). Arrondi au dixième : \(\sqrt{55} \approx 7{,}4\).

Vérification : \(7{,}4^2 = 54{,}76\) et \(7{,}5^2 = 56{,}25\), et 55 est bien entre les deux.

Entre quels entiers consécutifs se trouve \(\sqrt{90}\) ?

8 et 9
9 et 10
44 et 45

\(81 < 90 < 100\), donc \(9 < \sqrt{90} < 10\). La réponse « 44 et 45 » vient de l'erreur classique qui divise par 2.

3. Produit et quotient de racines carrées

Ces propriétés servent dans les deux sens :

\[ \sqrt{3} \times \sqrt{12} = \sqrt{36} = 6 \qquad \sqrt{\frac{25}{49}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{49}} = \frac{5}{7} \qquad \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5 \]

Que vaut \(\sqrt{2} \times \sqrt{8}\) ?

\(4\)
\(\sqrt{10}\)
\(16\)

\(\sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{2 \times 8} = \sqrt{16} = 4\). On multiplie sous le radical, on n'additionne pas.

4. Simplifier une racine carrée

flowchart LR
A[Nombre sous la racine] --> B[Chercher le plus grand carré parfait diviseur]
B --> C[Écrire le produit carré fois reste]
C --> D[Séparer en deux racines]
D --> E[Calculer la racine du carré]

Exemple résolu 1. Simplifier \(\sqrt{72}\). Cherche d'abord !

Carrés parfaits qui divisent 72 : 4, 9, 36. Le plus grand est 36, et \(72 = 36 \times 2\).

\(\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2}\).

\(\sqrt{72} = 6\sqrt{2}\). On ne peut plus simplifier : 2 n'a pas de diviseur carré parfait autre que 1.

Exemple résolu 2. Écrire \(C = 2\sqrt{12} + \sqrt{75} - \sqrt{27}\) sous la forme \(a\sqrt{3}\).

\(\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}\), donc \(2\sqrt{12} = 4\sqrt{3}\).

\(\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}\).

\(\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}\).

\(C = 4\sqrt{3} + 5\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = (4 + 5 - 3)\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\). On additionne les « \(\sqrt{3}\) » comme des objets de même nature, comme \(4x + 5x - 3x = 6x\).

Exemple résolu 3. Calculer \(D = \left(3\sqrt{5}\right)^2\).

Voir la solution

\[ D = 3^2 \times \left(\sqrt{5}\right)^2 = 9 \times 5 = 45 \]

Attention : \(\left(3\sqrt{5}\right)^2\) n'est pas \(3 \times 5 = 15\) : le carré porte sur le 3 et sur \(\sqrt{5}\).

Quelle est la forme simplifiée de \(\sqrt{50}\) ?

\(25\sqrt{2}\)
\(5\sqrt{2}\)
\(2\sqrt{5}\)

\(50 = 25 \times 2\), donc \(\sqrt{50} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2}\). C'est la racine de 25 (soit 5) qui sort, pas 25.

Que vaut \(\sqrt{18} + \sqrt{8}\) ?

\(\sqrt{26}\)
\(6\sqrt{2}\)
\(5\sqrt{2}\)

\(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\) et \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\), donc la somme vaut \(5\sqrt{2}\). On n'additionne jamais sous le radical : \(\sqrt{26}\) est faux.

Erreurs fréquentes

Récapitulatif

Si \(n\) est un carré parfait, \(\sqrt{n}\) est un entier (à connaître jusqu'à \(\sqrt{400} = 20\)).
Pour encadrer \(\sqrt{n}\), on cherche les carrés parfaits qui entourent \(n\) ; la calculatrice donne une valeur approchée, que l'on arrondit et que l'on écrit avec \(\approx\).
\(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}\) et \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) ; ces règles ne s'appliquent pas à la somme.
Simplifier : \(\sqrt{a^2 b} = a\sqrt{b}\), avec le plus grand carré parfait possible.

Cartes mémo

Carré parfait

Carré d'un entier : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100…

Encadrer \(\sqrt{30}\)

\(25 < 30 < 36\), donc \(5 < \sqrt{30} < 6\).

\(\sqrt{a \times b}\)

\(\sqrt{a} \times \sqrt{b}\) pour \(a, b \geq 0\).

\(\sqrt{a + b}\)

En général différent de \(\sqrt{a} + \sqrt{b}\) !

Simplifier \(\sqrt{12}\)

\(\sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}\).