Calculs vectoriels : additionner, soustraire et multiplier des vecteurs

Un vecteur est un déplacement : additionner deux vecteurs, c'est enchaîner deux déplacements, et multiplier un vecteur par un nombre, c'est allonger, raccourcir ou retourner ce déplacement.

Objectifs

Additionner deux vecteurs avec la relation de Chasles et la règle du parallélogramme.
Soustraire un vecteur en ajoutant son opposé.
Multiplier un vecteur par un nombre réel.
Faire ces calculs avec les coordonnées dans un repère.

1. Rappel : qu'est-ce qu'un vecteur ?

Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est caractérisé par :

sa direction : celle de la droite \((AB)\) ;
son sens : de \(A\) vers \(B\) ;
sa longueur (ou norme) : la distance \(AB\).

Dans un repère, si \(A(x_A\,;\,y_A)\) et \(B(x_B\,;\,y_B)\), alors :

\[\overrightarrow{AB}\,(x_B - x_A\,;\,y_B - y_A)\]

Exemple résolu

On donne \(A(1\,;\,2)\) et \(B(4\,;\,6)\). Calcule les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\).

Voir la solution

\[\overrightarrow{AB}\,(4-1\,;\,6-2) \quad\text{donc}\quad \overrightarrow{AB}\,(3\,;\,4)\]

Le déplacement de \(A\) à \(B\) : 3 unités vers la droite et 4 unités vers le haut.

2. Additionner deux vecteurs

La relation de Chasles

Pour tous points \(A\), \(B\) et \(C\) :

\[\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\]

L'extrémité du premier vecteur est l'origine du second : on « enchaîne » les flèches.

On trace le vecteur AB : le premier déplacement, de A jusqu'à B.

On trace le vecteur BC à partir de B, là où le premier s'arrête.

Le vecteur AC va directement du départ A à l'arrivée C : c'est la somme des deux.

La règle du parallélogramme

Si deux vecteurs ont la même origine, \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}\) où \(ABCD\) est un parallélogramme : la somme est la diagonale issue de \(A\).

Addition avec les coordonnées

Si \(\vec{u}\,(x\,;\,y)\) et \(\vec{v}\,(x'\,;\,y')\), alors on additionne abscisse avec abscisse, ordonnée avec ordonnée :

\[\vec{u} + \vec{v}\,(x + x'\,;\,y + y')\]

Exemple résolu

On donne \(\vec{u}\,(3\,;\,-2)\) et \(\vec{v}\,(-1\,;\,5)\). Calcule les coordonnées de \(\vec{u} + \vec{v}\).

Étape 1 : on additionne les abscisses : \(3 + (-1) = 2\).

Étape 2 : on additionne les ordonnées : \(-2 + 5 = 3\).

Étape 3 : conclusion : \(\vec{u} + \vec{v}\,(2\,;\,3)\).

Avec \(\vec{u}\,(2\,;\,-1)\) et \(\vec{v}\,(-3\,;\,4)\), quelles sont les coordonnées de \(\vec{u} + \vec{v}\) ?

\((5\,;\,3)\)
\((-1\,;\,3)\)
\((-1\,;\,-5)\)

\(2 + (-3) = -1\) et \(-1 + 4 = 3\), donc \(\vec{u} + \vec{v}\,(-1\,;\,3)\).

Que vaut \(\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP}\) ?

\(\overrightarrow{MP}\)
\(\overrightarrow{PM}\)
\(\overrightarrow{NN}\)

C'est la relation de Chasles : l'extrémité N du premier vecteur est l'origine du second, on va donc de M à P.

3. Soustraire deux vecteurs

L'opposé du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est \(\overrightarrow{BA}\) : même direction, même longueur, sens contraire.

\[-\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA} \qquad \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \vec{0}\]

Soustraire un vecteur, c'est ajouter son opposé :

\[\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v}) \qquad \vec{u} - \vec{v}\,(x - x'\,;\,y - y')\]

Exemple résolu

Avec \(\vec{u}\,(3\,;\,-2)\) et \(\vec{v}\,(-1\,;\,5)\), calcule \(\vec{u} - \vec{v}\).

Voir la solution

\begin{align} x &= 3 - (-1) = 3 + 1 = 4 \\ y &= -2 - 5 = -7 \end{align}

Donc \(\vec{u} - \vec{v}\,(4\,;\,-7)\).

Simplifie \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AC}\).

\(2\overrightarrow{AC}\)
\(\overrightarrow{CA}\)
\(\vec{0}\)

Par Chasles, \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\), puis \(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AC} = \vec{0}\).

4. Multiplier un vecteur par un nombre réel

Pour un réel \(k\) et un vecteur \(\vec{u}\) non nul, le vecteur \(k\vec{u}\) :

a la même direction que \(\vec{u}\) ;
a le même sens si \(k > 0\), le sens contraire si \(k < 0\) ;
a pour longueur \(|k|\) fois celle de \(\vec{u}\).

\[\vec{u}\,(x\,;\,y) \quad\Longrightarrow\quad k\vec{u}\,(kx\,;\,ky)\]

Exemple résolu 1

Avec \(\vec{u}\,(3\,;\,-2)\) et \(\vec{v}\,(-1\,;\,5)\), calcule les coordonnées de \(\vec{w} = 3\vec{u} - 2\vec{v}\).

Étape 1 : \(3\vec{u}\,(3 \times 3\,;\,3 \times (-2))\), soit \(3\vec{u}\,(9\,;\,-6)\).

Étape 2 : \(2\vec{v}\,(2 \times (-1)\,;\,2 \times 5)\), soit \(2\vec{v}\,(-2\,;\,10)\).

Étape 3 : on soustrait : \(9 - (-2) = 11\) et \(-6 - 10 = -16\).

Étape 4 : conclusion : \(\vec{w}\,(11\,;\,-16)\).

Exemple résolu 2

On donne \(A(1\,;\,2)\) et \(B(4\,;\,6)\). Trouve les coordonnées du point \(M\) tel que \(\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB}\).

Voir la solution

On a \(\overrightarrow{AB}\,(3\,;\,4)\) donc \(2\overrightarrow{AB}\,(6\,;\,8)\). Si \(M(x\,;\,y)\), alors \(\overrightarrow{AM}\,(x - 1\,;\,y - 2)\).

\begin{align} x - 1 &= 6 \;\Rightarrow\; x = 7 \\ y - 2 &= 8 \;\Rightarrow\; y = 10 \end{align}

Donc \(M(7\,;\,10)\) : \(M\) est sur la droite \((AB)\), deux fois plus loin de \(A\) que \(B\).

Avec \(\vec{u}\,(3\,;\,-1)\), quelles sont les coordonnées de \(-2\vec{u}\) ?

\((-6\,;\,2)\)
\((-6\,;\,-2)\)
\((1\,;\,-3)\)

On multiplie chaque coordonnée par \(-2\) : \(-2 \times 3 = -6\) et \(-2 \times (-1) = 2\).

Si \(\vec{v} = -3\vec{u}\), que peut-on dire de \(\vec{v}\) ?

Même sens que \(\vec{u}\) et trois fois plus long
Sens contraire de \(\vec{u}\) et trois fois plus long
Direction différente de \(\vec{u}\)

Le coefficient \(-3\) est négatif : le sens est inversé, la direction reste la même et la longueur est multipliée par \(|-3| = 3\).

Erreurs fréquentes

Inverser l'ordre : \(\overrightarrow{AB}\) se calcule avec \(x_B - x_A\), pas \(x_A - x_B\).
Oublier qu'un coefficient négatif change le sens du vecteur.
Oublier les parenthèses autour des coordonnées négatives.

Récapitulatif

Coordonnées : \(\overrightarrow{AB}\,(x_B - x_A\,;\,y_B - y_A)\).
Chasles : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\).
Addition et soustraction : on additionne ou on soustrait coordonnée par coordonnée.
Opposé : \(-\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA}\).
Produit par un réel : \(k\vec{u}\,(kx\,;\,ky)\), même direction, sens selon le signe de \(k\).

Coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\)

\((x_B - x_A\,;\,y_B - y_A)\)

Relation de Chasles

\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\)

Vecteur opposé

\(-\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA}\), même longueur, sens contraire

Somme en coordonnées

\(\vec{u} + \vec{v}\,(x + x'\,;\,y + y')\)

Produit \(k\vec{u}\)

\((kx\,;\,ky)\) : même direction, même sens si \(k > 0\), sens contraire si \(k < 0\)