Introduction

Les calculs vectoriels permettent de manipuler et d'analyser des vecteurs. Ils sont essentiels en géométrie pour déterminer des longueurs, des angles, ou pour effectuer des translations et des combinaisons.

Les vecteurs

Un vecteur est une quantité ayant une direction, un sens et une norme (longueur). On note un vecteur \(\vec{AB}\) allant du point \(A\) au point \(B\).

En coordonnées, si \(A(x_A, y_A)\) et \(B(x_B, y_B)\), alors \[\nabla \vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)\]

Les opérations sur les vecteurs

Somme de vecteurs

Pour deux vecteurs \(\vec{u} = (u_x, u_y)\) et \(\vec{v} = (v_x, v_y)\), leur somme est:
\[ \vec{u} + \vec{v} = (u_x + v_x, u_y + v_y)\]

Produits par un scalaire

Pour un réel \(\lambda\) et le vecteur \(\vec{u} = (u_x, u_y)\):
\[ \lambda \times \vec{u} = (\lambda u_x, \lambda u_y)\]

Calcul de la norme (longueur)

La norme d'un vecteur \(\vec{u} = (u_x, u_y)\) est: \[ |\vec{u}| = \sqrt{u_x^2 + u_y^2}\]

Produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs \(\vec{u} = (u_x, u_y)\) et \(\vec{v} = (v_x, v_y)\) est: \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = u_x v_x + u_y v_y\]

Ce produit permet de calculer l'angle \(\theta\) entre deux vecteurs par la formule:
\[ \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{ |\vec{u}| |\vec{v}| } \]