Dans le carré d’une différence, le double produit est soustrait mais le dernier carré reste positif.

Carré d’une différence

Objectifs

Pour tous réels \(a\) et \(b\), on développe les facteurs en conservant les signes :

\[(a-b)^2=(a-b)(a-b)=a^2-ab-ab+b^2=a^2-2ab+b^2.\]

Le dernier terme est positif car \((-b)(-b)=b^2\). Le double produit est soustrait dans cette écriture.

flowchart LR
A[Deux facteurs identiques] --> B[Distribuer avec les signes]
B --> C[Regrouper les produits croises]
C --> D[Verifier le resultat]

Quel est le dernier terme de \((a-b)^2\) ?

Le produit de deux nombres \(-b\) vaut \(b^2\).

Développe \((3x-2)^2\), puis compare avec \((3x+2)^2\).

Voir la solution après avoir cherché

On choisit \(a=3x\), \(b=2\).

\((3x-2)^2=9x^2-12x+4\).

\((3x+2)^2=9x^2+12x+4\) : seul le signe du double produit change.

Pour \(x=1\), les carrés valent respectivement \(1\) et \(25\), ce qui confirme la différence.

Quel développement de \((x-4)^2\) convient ?

Les termes sont \(x^2\), \(-2\times x\times4\), puis \(4^2\).

Calcule \(98^2\), puis factorise \(4x^2-20x+25\).

Voir la solution après avoir cherché

\(98^2=(100-2)^2=10000-400+4=9604\).

Les carrés extrêmes sont \((2x)^2\) et \(5^2\).

Le double produit négatif est \(-2\times2x\times5=-20x\).

On obtient \(4x^2-20x+25=(2x-5)^2\).

Pour \(a=2\) et \(b=5\), le carré \((a-b)^2\) est-il négatif ?

\((2-5)^2=(-3)^2=9\). Un carré réel est toujours positif ou nul.

La distributivité permet de contrôler les signes et d’éviter une confusion entre carré de différence et différence de carrés.

Identité

\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\).

Dernier terme

\((-b)^2=b^2\).

Comparaison

Le double produit distingue carré de somme et carré de différence.

Vérification

Tester un nombre détecte une erreur mais ne remplace pas une preuve générale.