Le carré d’une somme contient les deux carrés et le double produit.

Carré d’une somme

Objectifs

Pour tous réels \(a\) et \(b\), la distributivité donne :

\[(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2.\]

Pour des longueurs positives, les aires permettent de voir les deux rectangles oubliés.

On partage le côté en une longueur a et une longueur b, ici dans le rapport deux pour un pour illustrer.

On additionne les aires : un carré de côté a, deux rectangles et un carré de côté b.

Quel terme manque dans l’égalité fausse \((a+b)^2=a^2+b^2\) ?

Les deux produits croisés sont \(ab\) et \(ba\), soit \(2ab\).

Développe \((2x+3)^2\) avant d’ouvrir la solution.

Voir la solution après avoir cherché

On identifie \(a=2x\) et \(b=3\).

Le carré du premier terme vaut \((2x)^2=4x^2\). Le produit double vaut \(2\times2x\times3=12x\).

On obtient \((2x+3)^2=4x^2+12x+9\). Vérification pour \(x=1\) : les deux expressions valent \(25\).

Quel développement de \((x+5)^2\) est exact ?

Le double produit vaut \(2\times x\times5=10x\).

Calcule \(103^2\) en écrivant \(103=100+3\), puis reconnais \(x^2+8x+16\).

Voir la solution après avoir cherché

\(103^2=100^2+2\times100\times3+3^2=10000+600+9=10609\).

Dans \(x^2+8x+16\), les carrés extrêmes sont \(x^2\) et \(4^2\).

Le terme du milieu est bien \(2\times x\times4=8x\), donc \(x^2+8x+16=(x+4)^2\).

La présence des carrés \(x^2\) et \(9\) suffit-elle à dire que \(x^2+4x+9=(x+3)^2\) ?

Il faudrait le terme \(6x\), pas \(4x\). Il faut contrôler les trois termes.

Identifier les deux termes évite les oublis et permet de développer, reconnaître et vérifier un calcul.

Identité

\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\).

Double produit

\(2ab\) vient des deux produits croisés.

Développer

Transformer un produit en somme.

Reconnaître

Vérifier les deux carrés et le double produit.