Le cercle trigonométrique permet de visualiser les angles et les valeurs trigonométriques de façon intuitive.

Le cercle trigonométrique et l'angle orienté

Objectifs

Comprendre la définition du cercle trigonométrique.
Représenter un angle orienté dans le plan à l'aide du cercle.
Calculer les valeurs trigonométriques à partir du cercle.

Notions clés

Définition du cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1, centré à l'origine \(O(0;0)\) du plan. Il sert à représenter tous les angles \(\theta\) compris entre \(-\infty\) et \(+\infty\).

Représentation d’un angle orienté

Pour représenter un angle orienté dans le plan :

On choisit un point \(A\) sur le cercle correspondant à l’angle \(\theta\).
On considère le segment \(OA\), où \(O\) est le centre du cercle et \(\theta\) est l’angle entre l’axe horizontal \([Ox)\) et le rayon \(OA\) dans le sens anti-horaire.

La valeur de \(\theta\) peut être positive ou négative, et elle se mesure en degrés ou en radians.

Voir la solution

Par exemple, pour \(\theta = 60^\circ\), le point \(A\) est situé sur le cercle à une distance du centre correspondant à cet angle, et \(\cos \theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}\) est la projection horizontale de \(A\).

Étapes pour représenter un angle

Tracer le cercle de rayon 1 avec centre en \(O(0;0)\).

Tracer l'axe horizontal \(Ox\).

Depuis \(O\), mesurer l’angle \(\theta\) dans le sens anti-horaire.

Placer le point \(A\) tel que l'angle \(\angle A O\) est égal à \(\theta\).

Quelle est la longueur du rayon du cercle ?

Le cercle trigonométrique a un rayon 1, ce qui permet de simplifier le calcul des valeurs trigonométriques.

Valeurs trigonométriques sur le cercle

Pour un point \(A\) sur le cercle de coordonnées \((x,y)\), on définit :

\(\cos \theta = x\)
\(\sin \theta = y\)
\(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{y}{x}\), sauf si \(\cos \theta = 0\)

Ces valeurs permettent de répondre à des questions comme : Quelle est la projection horizontale ou verticale d’un vecteur ?

Voir la solution

Sur le cercle, le point \(A\) ayant pour coordonnées \((x; y)\) correspond à l’angle \(\theta\). Ainsi, \(\cos \theta = x\) et \(\sin \theta = y\).

Exemple : calcul de valeurs trigonométriques

Supposons que \(A\) est positionné sur le cercle tel que \(\angle A O = 45^\circ\). Les coordonnées de \(A\) sont \(\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\).

Alors, on a :

\( \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

\( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

\( \tan 45^\circ = 1 \)

Mini-question

Quelle est la valeur de \(\sin 30^\circ\) ?

\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\frac{1}{2}\)
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\), c’est une valeur connue du cercle.

Erreurs fréquentes

Confondre angle en degrés et en radians : vérifier l’unité donnée.
Oublier que \(\tan \theta\) n’est pas défini lorsque \(\cos \theta = 0\).
Ne pas prendre en compte la coterminalité des angles, notamment en ajoutant ou soustrayant \(360^\circ\) ou \(2\pi\).

Résumé

Le cercle trigonométrique est un outil précieux pour visualiser et calculer les angles et leurs valeurs trigonométriques en représentant chaque angle par un point sur le cercle de rayon 1. Les valeurs de \(\sin \theta\), \(\cos \theta\) et \(\tan \theta\) peuvent ainsi être facilement déterminées à partir des coordonnées du point correspondant.

Cercle trigonométrique

Cercle de rayon 1 centré à l'origine, représentant tous les angles.

Angle orienté

Mesuré à partir de l’axe horizontal dans le sens anti-horaire, positif sauf si dans le sens horaire.

Valeurs trigonométriques

\(\sin \theta, \cos \theta, \tan \theta\) reliés aux coordonnées du point sur le cercle.

Coterminalité

Additionner ou soustraire \(360^\circ\) ou \(2\pi\) pour trouver un angle équivalent.

Coordonnées

Le point \(A(x; y)\) sur le cercle définit \(\cos \theta = x\) et \(\sin \theta = y\).