Cercle trigonométrique - 2nde

Cercle trigonométrique — Angle orienté et trigonométrie (niveau 2nde)

Objectifs : comprendre le cercle trigonométrique, relier mesures d'angles (degrés et radians) aux coordonnées (cosinus, sinus) et utiliser les angles usuels.

1. Définitions essentielles

Un angle orienté se mesure à partir d'une demi-droite initiale (souvent l'axe des abscisses positif) en tournant dans le sens direct (sens trigonométrique, anti-horaire) pour les angles positifs, et dans le sens horaire pour les angles négatifs.

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1 dans le plan (repère orthonormé). On le note souvent cercle unité.

2. Mesure d'un angle et radians

Sur le cercle de rayon 1, un angle orienté d'amplitude θ (en radians) correspond à un arc de longueur θ. Les relations entre degrés et radians :

180° = π radians
Conversion : radians = degrés × (π/180), degrés = radians × (180/π)

Exemple : 60° = 60×(π/180) = π/3.

3. Coordonnées sur le cercle unité : cosinus et sinus

Pour un angle orienté θ, le point M sur le cercle trigonométrique associé à θ a pour coordonnées :

M(cos θ, sin θ).

Propriété immédiate : cos²θ + sin²θ = 1 (identité pythagoricienne).

4. Diagramme (unité trigonométrique)

Sur le dessin, l'angle π/4 correspond au point M(√2/2, √2/2).

5. Angles usuels et coordonnées

Table des angles courants (coordonnées M(cos θ, sin θ)) :

θ	En degrés	En radians	cos θ	sin θ
0	0°	0	1	0
π/6	30°	π/6	√3/2	1/2
π/4	45°	π/4	√2/2	√2/2
π/3	60°	π/3	1/2	√3/2
π/2	90°	π/2	0	1

Pour les autres quadrants, on utilise les signes : cos garde le signe de l'abscisse, sin celui de l'ordonnée.

6. Relations utiles

Point M( cos θ, sin θ ) sur le cercle unité.
cos²θ + sin²θ = 1.
cos(-θ) = cos θ (paire), sin(-θ) = - sin θ (impaire).
cos(θ + 2kπ) = cos θ, sin(θ + 2kπ) = sin θ (périodicité).
tan θ = sin θ / cos θ (si cos θ ≠ 0).

7. Exemples rapides

Déterminer les coordonnées de l'image du point correspondant à 150° = 5π/6 : cos(5π/6) = -√3/2, sin(5π/6) = 1/2. Donc M(-√3/2, 1/2).
Convertir 135° en radians : 135 × (π/180) = 3π/4.
Si cos θ = 0, alors θ = π/2 + kπ (points (0,1) ou (0,-1) sur le cercle unité).

8. Exercices (niveau 2nde)

Donner les coordonnées du point du cercle trigonométrique pour θ = -π/4.
Convertir : 330° en radians et π/5 en degrés.
Vérifier que pour θ = π/3, cos²θ + sin²θ = 1.
Trouver θ entre 0 et 2π tel que cos θ = -1/2 et préciser sin θ.

9. Solutions

θ = -π/4 : cos(-π/4) = √2/2, sin(-π/4) = -√2/2. Point = (√2/2, -√2/2).
330° = 330×(π/180) = 11π/6. π/5 = 36°.
Pour θ = π/3 : cos(π/3)=1/2, sin(π/3)=√3/2. Donc cos²+sin² = (1/4) + (3/4) = 1.
cos θ = -1/2 sur [0,2π[ : θ = 2π/3 ou θ = 4π/3. Pour θ=2π/3, sin=+√3/2 ; pour θ=4π/3, sin=-√3/2.