Cercle trigonométrique, radian, image d'un réel

Sur un cercle de rayon 1 orienté dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, on « enroule » la droite des réels : chaque réel \(x\) vient se poser sur un point du cercle, et le radian est l'unité d'angle qui correspond à cet enroulement.

Objectifs

Définir le cercle trigonométrique et le sens direct.
Comprendre le radian et convertir degrés ↔ radians.
Calculer une longueur d'arc.
Placer l'image d'un réel sur le cercle trigonométrique.
Trouver la mesure principale d'un angle et lire les coordonnées \((\cos x;\sin x)\) d'un point du cercle.

1. Le cercle trigonométrique

On se place dans un repère orthonormé \((O;\vec{i},\vec{j})\). On note \(I(1;0)\) et \(J(0;1)\).

Le point de départ est \(I\). Tourner dans le sens direct, c'est « monter » de \(I\) vers \(J\) ; tourner dans le sens indirect, c'est « descendre » de \(I\) vers \(J'(0;-1)\).

Quel est le périmètre du cercle trigonométrique ?

\(\pi\)
\(2\pi\)
\(360\)

Le rayon vaut \(1\), donc le périmètre vaut \(2\pi R=2\pi\times 1=2\pi\) (environ \(6{,}28\)).

2. Le radian

On trace un rayon de longueur R.

On reporte sur le cercle un arc de même longueur R.

L'angle au centre qui intercepte cet arc mesure 1 radian, soit environ 57 degrés.

Conversion degrés ↔ radians

Un demi-tour correspond à un demi-périmètre du cercle trigonométrique, donc à un arc de longueur \(\pi\) :

\[180^\circ=\pi\ \text{rad}\]

Les mesures sont proportionnelles, d'où :

\[\alpha_{\text{rad}}=\alpha_{\text{deg}}\times\frac{\pi}{180}\qquad\qquad \alpha_{\text{deg}}=\alpha_{\text{rad}}\times\frac{180}{\pi}\]

Degrés	\(0\)	\(30\)	\(45\)	\(60\)	\(90\)	\(180\)	\(360\)
Radians	\(0\)	\(\frac{\pi}{6}\)	\(\frac{\pi}{4}\)	\(\frac{\pi}{3}\)	\(\frac{\pi}{2}\)	\(\pi\)	\(2\pi\)

Exemples résolus

a) Convertis \(150^\circ\) en radians. b) Convertis \(\frac{3\pi}{4}\) rad en degrés. c) Sur une roue de rayon \(5\) cm, quelle est la longueur de l'arc intercepté par un angle de \(\frac{\pi}{3}\) rad ?

Cherche d'abord, puis vérifie

a) \(150\times\frac{\pi}{180}=\frac{150\pi}{180}=\frac{5\pi}{6}\) rad.

b) \(\frac{3\pi}{4}\times\frac{180}{\pi}=\frac{3\times 180}{4}=135^\circ\).

c) \(L=R\times\alpha=5\times\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}\approx 5{,}24\) cm.

Combien vaut \(120^\circ\) en radians ?

\(\frac{\pi}{3}\)
\(\frac{3\pi}{2}\)
\(\frac{2\pi}{3}\)

\(120\times\frac{\pi}{180}=\frac{120\pi}{180}=\frac{2\pi}{3}\).

3. Image d'un réel sur le cercle

On place la droite des réels verticalement, tangente au cercle en \(I\), avec le \(0\) en \(I\). On l'enroule autour du cercle : la partie positive dans le sens direct, la partie négative dans le sens indirect.

À toi : place chaque réel sur son image (les points sont déjà dessinés).

Exemple résolu : placer des images

Où se trouvent les images de \(\frac{13\pi}{6}\), \(5\pi\) et \(-\frac{\pi}{2}\) ?

Voir la solution

\(\frac{13\pi}{6}=\frac{12\pi}{6}+\frac{\pi}{6}=2\pi+\frac{\pi}{6}\) : un tour complet puis \(\frac{\pi}{6}\). L'image est celle de \(\frac{\pi}{6}\).

\(5\pi=4\pi+\pi=2\times 2\pi+\pi\) : deux tours puis un demi-tour. L'image est le point \(I'(-1;0)\), comme pour \(\pi\).

\(-\frac{\pi}{2}\) : un quart de tour dans le sens indirect. L'image est \(J'(0;-1)\).

Mesure principale

Méthode : on écrit \(x\) sous la forme « multiple de \(2\pi\) + reste », en choisissant le multiple de \(2\pi\) le plus proche.

Trouve la mesure principale de \(\frac{11\pi}{6}\), \(\frac{17\pi}{4}\) et \(\frac{23\pi}{6}\).

Cherche d'abord, puis vérifie

\(\frac{11\pi}{6}=\frac{12\pi}{6}-\frac{\pi}{6}=2\pi-\frac{\pi}{6}\). Mesure principale : \(-\frac{\pi}{6}\).

\(\frac{17\pi}{4}=\frac{16\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=4\pi+\frac{\pi}{4}\). Mesure principale : \(\frac{\pi}{4}\).

\(\frac{23\pi}{6}=\frac{24\pi}{6}-\frac{\pi}{6}=4\pi-\frac{\pi}{6}\). Mesure principale : \(-\frac{\pi}{6}\).

Quelle est la mesure principale de \(\frac{7\pi}{3}\) ?

\(\frac{\pi}{3}\)
\(-\frac{\pi}{3}\)
\(\frac{4\pi}{3}\)

\(\frac{7\pi}{3}=\frac{6\pi}{3}+\frac{\pi}{3}=2\pi+\frac{\pi}{3}\), et \(\frac{\pi}{3}\) est bien dans \(]-\pi;\pi]\).

Les réels \(\frac{\pi}{4}\) et \(\frac{9\pi}{4}\) ont-ils la même image ?

Non, car \(\frac{9\pi}{4}\) est plus grand
Oui, car leur différence vaut \(2\pi\)
Non, car \(\frac{9\pi}{4}\) n'est pas sur le cercle

\(\frac{9\pi}{4}-\frac{\pi}{4}=\frac{8\pi}{4}=2\pi\) : un tour complet de plus, on retombe sur le même point.

4. Coordonnées de l'image : cosinus et sinus

\(x\)	\(0\)	\(\frac{\pi}{6}\)	\(\frac{\pi}{4}\)	\(\frac{\pi}{3}\)	\(\frac{\pi}{2}\)	\(\pi\)
\(\cos x\)	\(1\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(0\)	\(-1\)
\(\sin x\)	\(0\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(1\)	\(0\)

Exemple résolu

Donne les coordonnées de l'image de \(\frac{2\pi}{3}\).

Voir la solution

\(\frac{2\pi}{3}=\pi-\frac{\pi}{3}\) : le point est le symétrique de l'image de \(\frac{\pi}{3}\) par rapport à l'axe des ordonnées.

L'abscisse change de signe, l'ordonnée reste la même : \(\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}\) et \(\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Coordonnées : \(\left(-\frac{1}{2}\,;\,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\). Contrôle : \(\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1\).

Quelles sont les coordonnées de l'image de \(-\frac{\pi}{2}\) ?

\((-1\,;\,0)\)
\((0\,;\,1)\)
\((0\,;\,-1)\)

Un quart de tour dans le sens indirect depuis \(I\) mène au point \(J'(0;-1)\) : \(\cos(-\frac{\pi}{2})=0\) et \(\sin(-\frac{\pi}{2})=-1\).

Erreurs fréquentes

Récapitulatif

Cercle trigonométrique : centre \(O\), rayon \(1\), sens direct, périmètre \(2\pi\).
\(\pi\) rad \(=180^\circ\) ; longueur d'arc \(L=R\times\alpha\) (\(\alpha\) en radians).
Tout réel \(x\) a une image unique \(M\) ; \(x\) et \(x+2k\pi\) ont la même image.
Mesure principale : la mesure dans \(]-\pi;\pi]\).
\(M(\cos x;\sin x)\) et \(\cos^2x+\sin^2x=1\).

Cercle trigonométrique

Cercle de centre O, de rayon 1, orienté dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Radian

Angle au centre qui intercepte un arc de longueur égale au rayon ; \(\pi\) rad \(=180^\circ\).

Image d'un réel

Point du cercle atteint en enroulant la droite des réels depuis I ; \(x\) et \(x+2k\pi\) ont la même image.

Mesure principale

L'unique mesure de l'angle comprise dans \(]-\pi;\pi]\).

Coordonnées de l'image

\(M(\cos x;\sin x)\), avec \(\cos^2x+\sin^2x=1\).