On échange les lignes pour obtenir un pivot non nul, puis on compare leurs tailles pour mieux organiser le calcul.

Choix du pivot et permutations

Objectifs

Éviter les pivots nuls.
Appliquer le pivot partiel.
Distinguer validité exacte et calcul approché.

Un pivot nul : permuter les équations

On ne divise pas par zéro. Si le coefficient prévu pour le pivot est nul, cherche un coefficient non nul plus bas dans la même colonne et échange les lignes entières. Le second membre se déplace avec son équation. Un pivot nul à une place prévue ne signifie donc pas que le système n’a pas de solution.

Exercice fictif : \(\left[\begin{array}{cc|c}0&1&2\\2&3&8\end{array}\right]\). Comment commencer ?

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Échange \(L_1\) et \(L_2\) : \(\left[\begin{array}{cc|c}2&3&8\\0&1&2\end{array}\right]\).

Le premier pivot peut être \(2\). La dernière équation donne déjà \(y=2\).

On remonte : \(2x+6=8\), donc \(x=1\). Le système initial est vérifié.

Le premier coefficient vaut \(0\), mais un coefficient non nul existe plus bas. Que faire ?

Diviser quand même par zéro
Échanger les lignes entières
Échanger seulement les seconds membres

Une permutation de lignes réordonne les équations ; elle conserve les solutions.

Le pivot partiel : comparer les valeurs absolues

Au stade courant, le pivot partiel choisit dans la colonne active, parmi la ligne courante et celles du dessous, un coefficient de plus grande valeur absolue. On place sa ligne à la position du pivot. On compare les tailles, pas les signes : un nombre négatif peut être le meilleur choix. Les lignes déjà traitées restent en place.

Exercice fictif : la colonne active contient \(0\), \(2\), \(-5\) dans les lignes encore disponibles. Quel coefficient choisir ?

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Les valeurs absolues sont \(0\), \(2\) et \(5\).

Le plus grand module est \(5\) : on choisit le coefficient \(-5\), en échangeant sa ligne avec la ligne courante.

Pour éliminer le coefficient \(2\), le multiplicateur vaut \(\frac2{-5}=-\frac25\). Sa valeur absolue est inférieure à un.

Entre \(3\) et \(-8\), quel candidat choisit le pivot partiel dans une même colonne active ?

\(3\)
\(-8\)
Le plus proche de zéro

On compare \(|3|=3\) et \(|-8|=8\).

Savoir quand avancer et ce que le choix garantit

Si tous les coefficients disponibles de la colonne active sont nuls, aucune permutation de ces lignes ne donnera un pivot dans cette colonne : on examine la suivante. En arithmétique exacte, toute suite d’opérations autorisées garde les mêmes solutions. En calcul approché, le pivot partiel aide à maîtriser les multiplicateurs d’élimination, mais ne garantit pas l’absence de toute erreur d’arrondi, notamment pour un système mal conditionné.

flowchart TD
A[Colonne active] --> B[Comparer les valeurs absolues]
B --> C{Maximum non nul}
C -->|Oui| D[Echanger les lignes puis eliminer]
C -->|Non| E[Examiner la colonne suivante]

Exercice fictif : dans la partie encore active, une colonne vaut \((0,0)\). Peut-on affirmer immédiatement que le système est impossible ?

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Non : cette colonne ne fournit pas de pivot à ce stade.

On examine les autres colonnes et les seconds membres.

Une ligne finale de type \(0=4\) prouverait l’incompatibilité ; une colonne sans pivot ne le prouve pas à elle seule.

Un pivot partiel garantit-il une solution numérique parfaitement exacte pour tout système ?

Il réduit certains risques, mais les données et les erreurs d’arrondi restent à examiner.

Erreurs fréquentes

Résumé

Le pivot partiel choisit le plus grand module disponible dans la colonne active, conserve les solutions et aide à limiter certains effets d’arrondi.

Cartes mémo

Réponds avant de retourner chaque carte.

Permutation de lignes

Échange de deux équations entières.

Pivot nul

Coefficient inutilisable comme diviseur.

Pivot partiel

Maximum des valeurs absolues dans la colonne active restante.

Colonne sans pivot

Demande d’examiner les colonnes suivantes.

Calcul approché

Calcul soumis à des erreurs d’arrondi.