Position, vitesse et accélération décrivent le mouvement dans un référentiel précisé.

Cinématique du point

Objectifs

Distinguer trajectoire, déplacement et distance.
Calculer des dérivées cartésiennes.
Interpréter les composantes tangentielle et normale.

Choisir un référentiel et une position

La cinématique décrit le mouvement sans en rechercher les causes. Il faut fixer le système étudié, le référentiel, un repère et une horloge. Le modèle du point représente un objet par un point lorsque ses dimensions et sa rotation ne sont pas nécessaires à la question. La trajectoire est l’ensemble des positions successives dans le référentiel choisi.

En coordonnées cartésiennes, \(\vec r(t)=x(t)\vec i+y(t)\vec j+z(t)\vec k\). Le déplacement entre deux instants est \(\Delta\vec r=\vec r(t_2)-\vec r(t_1)\) ; sa norme n’est pas toujours la distance parcourue.

Une roue tourne sur place : un point de la jante revient à son départ après un tour. Son déplacement est-il égal à la distance parcourue ?

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Le point initial et le point final sont identiques : le déplacement vectoriel est nul.

Le point a pourtant parcouru un cercle, de longueur non nulle.

On distingue donc déplacement et distance.

Que faut-il préciser avant de donner une trajectoire ?

Le référentiel
Seulement la couleur de l’objet
La masse sans aucun repère

La trajectoire dépend du point de vue choisi.

Dériver la position pour obtenir vitesse et accélération

Dans un repère cartésien fixe, \(\vec v=d\vec r/dt\) et \(\vec a=d\vec v/dt\). On dérive chaque coordonnée. La norme \(v=\|\vec v\|\) est la vitesse au sens usuel. Les unités SI sont \(\mathrm m\), \(\mathrm{m\,s^{-1}}\) et \(\mathrm{m\,s^{-2}}\).

Exercice fictif : les coordonnées numériques en mètres sont \(x(t)=1+2t+t^2\), \(y(t)=3t\), avec \(t\) exprimé numériquement en secondes. Détermine position, vitesse et accélération à \(t=2\,\mathrm s\).

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\(x(2)=9\), \(y(2)=6\) : la position est \(\vec r=(9\vec i+6\vec j)\,\mathrm m\).

Les composantes numériques de vitesse sont \(v_x=2+2t\), \(v_y=3\). À cet instant, \(\vec v=(6\vec i+3\vec j)\,\mathrm{m\,s^{-1}}\).

\(a_x=2\), \(a_y=0\), donc \(\vec a=2\vec i\,\mathrm{m\,s^{-2}}\). La norme de la vitesse vaut \(\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt5\,\mathrm{m\,s^{-1}}\).

Quelle dérivée donne l’accélération ?

La dérivée de la vitesse
La position sans dérivation
La masse divisée par le temps

L’accélération décrit la variation du vecteur vitesse.

Le long d’une courbe : tangente et normale

Une abscisse curviligne orientée \(s\) repère le point le long de la trajectoire. Avec la tangente unitaire orientée \(\vec T\) et la normale \(\vec N\) vers le centre de courbure, \[\vec v=\dot s\,\vec T,\qquad \vec a=\ddot s\,\vec T+\frac{\dot s^2}{R}\vec N.\] Ici \(R\) est le rayon de courbure, quand cette description régulière est définie. La norme de vitesse vaut \(|\dot s|\). Dans un mouvement circulaire uniforme, la composante tangentielle est nulle, mais la composante normale ne l’est pas.

Exercice fictif : sur un cercle de rayon \(R=2\,\mathrm m\), la norme de vitesse reste \(v=3\,\mathrm{m\,s^{-1}}\). Décris l’accélération.

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La vitesse au compteur est constante : la composante tangentielle est nulle.

\(a_N=v^2/R=9/2=4{,}5\,\mathrm{m\,s^{-2}}\).

Le vecteur accélération est dirigé vers le centre ; le vecteur vitesse reste tangent.

Un mouvement circulaire uniforme a-t-il un vecteur vitesse constant ?

Sa norme est constante, mais sa direction change.

Erreurs fréquentes

Résumé

Fixer le référentiel et les unités donne du sens aux coordonnées ; les dérivées décrivent ensuite les variations.

Cartes mémo

Réponds avant de retourner les cartes.

Référentiel

Cadre par rapport auquel on décrit le mouvement.

Trajectoire

Ensemble des positions successives.

Vitesse

\(\vec v=d\vec r/dt\).

Accélération

\(\vec a=d\vec v/dt\).

Normale

Direction vers le centre de courbure.