Circuits électriques dynamiques : Équations différentielles du premier ordre

Introduction

Les circuits électriques dynamiques comportent des composantes telles que des résistances, des inductances et des condensateurs dont le comportement dans le temps est modélisé par des équations différentielles du premier ordre.

Principe de modélisation

Dans un circuit simple, la loi de Kirchhoff des tensions appliquée à un circuit R-L ou R-C conduit à une équation différentielle du premier ordre concernant la grandeur d’intérêt (tension ou courant).

Exemple : circuit RC

Considérons un circuit RC avec une source de tension \( V_{0} \), une résistance R et un condensateur C connectés en série :

        V₀
         |
         |
        ---
        R
        ---
         |
         |------ Vc(t)
        C
         |
        ---
         |
        GND

Equation différentielle du circuit RC

La loi de Kirchhoff des tensions donne :

V₀ = R i(t) + \[ rac{1}{C} \int i(t) dt \]

En différenciant, et en utilisant le fait que le courant \( i(t) = C rac{dV_{c}}{dt} \), on obtient l'équation différentielle :

V_{0} = R C rac{dV_{c}}{dt} + V_{c}(t)

Ce qui s’écrit sous la forme :

k rac{dV_{c}}{dt} + V_{c}(t) = V_{0} \quad 	ext{où} \quad k = R C\)

Solution générale

L’équation différentielle est une équation du premier ordre linéaire :

k rac{dV_{c}}{dt} + V_{c} = V_{0}\

Sa solution générale s’écrit :

\[ V_{c}(t) = V_{0} + \left( V_{c}(0) - V_{0} 
ight) e^{-rac{t}{k}} \]

avec \( V_{c}(0) \) la tension initiale sur le condensateur.

Cas particulier : régime transitoire

Si la tension initiale est nulle \( V_{c}(0)=0 \), alors :

\[ V_{c}(t) = V_{0} \left( 1 - e^{-rac{t}{k}} 
ight) \]

Conclusion

Les équations différentielles du premier ordre permettent de modéliser le comportement dans le temps des circuits RC et RL, et de prévoir la réponse du circuit à une variation de la source ou des composants.