Circuits électriques dynamiques : Équations différentielles du premier ordre

Introduction

Les circuits électriques dynamiques impliquent des composants comme des résistances (R), des inductances (L) et des condensateurs (C). Lorsqu’un courant ou une tension varie dans le temps, leur relation peut être modélisée par des équations différentielles du premier ordre.

Les composants et leurs équations

• Résistance (R) : La tension est proportionnelle au courant, selon la loi d’Ohm : U = R×I.
• Inductance (L) : La tension aux bornes d’une inductance est liée à la variation du courant : U_L = L × dI/dt.
• Capaciteur (C) : La charge et la tension sont liées : Q = C×U_C, et la dérivée de la charge donne la tension : U_C = Q / C.

Équation différentielle du premier ordre

Lorsqu’un circuit comprend un générateur, une résistance, une inductance et/ou un condensateur, la loi de Kirchhoff permet d’établir une équation pour le circuit.

Exemple : circuit RL avec source continue

U = R × I(t) + L × dI/dt

où :

• U : tension du générateur
• I(t) : courant en fonction du temps

On obtient une équation différentielle du premier ordre :

L × dI/dt + R × I(t) = U

Solution de l’équation

La solution générale est composée :
- d’une solution particulière, I_p, correspondant à l’état stationnaire;
- d’une solution homogène, I_h, représentant la réponse transitoire.

Pour l’équation :

L × dI/dt + R × I = U

La solution homogène (sans le terme U) :

I_h(t) = K × e^{-(R/L)t}

La solution particulière pour U constant :

I_p = U / R

La solution générale :

I(t) = I_p + I_h(t) = rac{U}{R} + K × e^{-(R/L)t}

où K est déterminé par la condition initiale du circuit.

Conclusion

Les équations différentielles du premier ordre permettent de modéliser la réponse temporelle des circuits électriques lors de leur mise sous tension ou de leur extinction. Leur résolution fournit la compréhension du comportement transitoire.