Combinatoire et dénombrement : produit cartésien, k-uplets, permutations, combinaisons
La combinatoire étudie comment compter et organiser des objets : produit cartésien et k-uplets structurent les choix, permutations et combinaisons comptent les arrangements.
Produit cartésien, k-uplets, permutations et combinaisons — Tle
Objectifs : comprendre les définitions, maîtriser les formules de dénombrement et savoir résoudre des problèmes types (cartésien, k-uplets, arrangements, permutations, combinaisons).
Notions clés
Produit cartésien
Définition : pour deux ensembles finis \(A\) et \(B\), le produit cartésien est \[A \times B=\{(a,b)\mid a\in A,\; b\in B\}\] Il contient tous les couples possibles formés d'un élément de \(A\) et d'un élément de \(B\).
Cardinalité : si \(|A|=m\) et \(|B|=n\), alors \[ |A\times B|=m\times n \] Plus généralement, pour \(k\) ensembles finis \(E_1,\dots,E_k\) de cardinaux \(n_1,\dots,n_k\), \[ |E_1\times\cdots\times E_k|=n_1\cdots n_k. \]
Si A a 3 éléments et B en a 4, combien y a-t-il de couples dans A×B ?
k-uplets
Définition : un k-uplet est un élément de \[E^k=E\times E\times\cdots\times E\quad(\text{k fois})\] Si \(E\) a \(n\) éléments, le nombre de k-uplets est \(n^k\) (choix avec remise et ordre important).
Combien de mots de longueur 3 (lettres distinctes autorisées) avec un alphabet de 5 lettres ?
Permutations
Définition : une permutation d'un ensemble de \(n\) objets distincts est un réarrangement de ces objets. Le nombre total est \[n!=1\times 2\times 3\times\cdots\times n.\] Exemple : pour 4 objets, il y a \(4!=24\) permutations.
Combien de façons d'ordonner 5 personnes ?
Combinaisons
Définition : le nombre de façons de choisir \(k\) éléments parmi \(n\) sans tenir compte de l'ordre est le coefficient binomial \[\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.\] Exemple : \(\binom{5}{2}=10\).
Combien de comités de 3 personnes peut-on former parmi 8 ?
Schéma conceptuel
flowchart LR
A[Produit cartésien] --> B[k-uplets]\n B --> C[Permutations (ordre) ]
B --> D[Combinaisons (ordre ignoré)]
C --> E[Formule : n!]
D --> F[Formule : n choose k]
Exemples résolus
Exemple 1 — Produit cartésien
Soit \(A=\{1,2,3\}\) et \(B=\{x,y\}\). Combien de couples dans \(A\times B\) ? Cherche d'abord.
Voir la solution
On a \(|A|=3\) et \(|B|=2\). Donc
\[|A\times B|=3\times 2=6.\]
Les couples sont \((1,x),(1,y),(2,x),(2,y),(3,x),(3,y)\).
Exemple 2 — Permutations
Combien de manières d'ordonner les lettres A,B,C,D ?
Exemple 3 — Combinaisons
On choisit 3 élèves parmi 7. Combien de comités ? Cherche d'abord.
Voir la solution
On calcule
\[\binom{7}{3}=\frac{7!}{3!4!}=\frac{7\times 6\times 5}{3\times 2\times 1}=35.\]
Quel est le bon résultat pour \(\binom{7}{3}\) ?
Erreurs fréquentes
- Si l'ordre compte et qu'on ne répète pas : permutation ou arrangement.
- Si l'ordre compte et répétition possible : k-uplet, compter par \(n^k\).
- Si l'ordre ne compte : combinaison, utiliser \(\binom{n}{k}\).
Récapitulatif rapide
- Produit cartésien : \(|A\times B|=|A||B|\).
- k-uplets sur un ensemble de taille \(n\) : \(n^k\) choix (avec remise, ordre important).
- Permutations de \(n\) objets : \(n!\).
- Combinaisons (choisir \(k\) parmi \(n\)) : \(\displaystyle\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\).
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