Introduction

La combinatoire étudie les méthodes de dénombrement de façons différentes, de configurations ou d'ensembles. Dans ce cours, nous allons découvrir le Triangle de Pascal et quelques formules essentielles pour compter des arrangements.

Le Triangle de Pascal

Le Triangle de Pascal est une présentation triangulaire de coefficients binomiaux. Il permet de trouver rapidement le nombre de combinaisons possibles.

Construction du triangle

• La première ligne est composée d'un seul 1.
• Chaque nouvelle ligne commence et se termine par un 1.
• Les autres éléments sont la somme des deux éléments situés au-dessus, à gauche et à droite.

Exemple

       1
      1 1
     1 2 1
    1 3 3 1
   1 4 6 4 1

Notations

Le coefficient \(inom{n}{k}\) désigne le nombre de combinaisons de \(k\) éléments parmi \(n\). Il correspond à un élément du triangle de Pascal à la ligne \(n\) et la colonne \(k\), avec \(0 \leq k \leq n\).

Formules de Dénombrement

Plusieurs formules permettent de compter efficacement le nombre de combinaisons ou arrangements :

• Coefficient binomial : \(\displaystyle inom{n}{k} = rac{n!}{k!(n-k)!}\)
• Nombre de permutations de n éléments : \(n!\)
• Nombre de permutations avec répétitions d'une multiensemble : \(\displaystyle rac{n!}{n_1! imes n_2! imes \dots imes n_r!}\), où \(n_i\) sont les répétitions.

Exemples

Exemple pour \(inom{5}{2}\) : \(\displaystyle inom{5}{2} = rac{5!}{2! imes 3!} = 10\).

Permutations de 4 éléments : \(4! = 24\).