Combinatoire : Méthodes de dénombrement - Combinaisons

Introduction

Les combinaisons permettent de choisir des éléments d’un ensemble sans tenir compte de l’ordre. Elles sont essentielles pour résoudre de nombreux problèmes de dénombrement en mathématiques.

Définition des combinaisons

La combinaison de n éléments pris par k s, notée C(n, k) ou \(inom{n}{k}\), désigne le nombre de manières de sélectionner k éléments parmi n, sans distinction de l’ordre.

Formule de dénombrement

Le nombre de combinaisons est donné par la formule :

\(\displaystyle C(n, k) = inom{n}{k} = rac{n!}{k!(n - k)!}\)

où n! désigne la factorielle de n, c’est-à-dire le produit de tous les entiers de 1 à n.

Exemples

Exemple 1 :

Combien y a-t-il de façons de choisir 3 élèves parmi 10 ?

Réponse : \(\displaystyle C(10, 3) = rac{10!}{3! imes 7!} = 120\)

Exemple 2 :

Combien de manières de sélectionner 2 couleurs parmi 5 ?

Réponse : \(\displaystyle C(5, 2) = rac{5!}{2! imes 3!} = 10\)

Propriétés importantes

• Symétrie : \(\displaystyle C(n, k) = C(n, n - k)\)
• Somme : \(\displaystyle \sum_{k=0}^n C(n, k) = 2^n\) (somme des combinaisons)

Conclusion

Les combinaisons sont une méthode essentielle pour dénombrer les sous-ensembles d’un ensemble. La formule \(\displaystyle C(n, k) = rac{n!}{k!(n - k)!}\) permet de calculer facilement le nombre de façons de choisir k éléments parmi n.