Combinatoire - Méthodes de dénombrement : permutations

Introduction

Les permutations concernent la réorganisation de différents éléments dans un ordre précis. Elles permettent de déterminer le nombre de façons d'ordonner un ensemble d'éléments.

Permutations d'un ensemble fini

Considérons un ensemble de \( n \) éléments distincts. Le nombre de permutations de ces éléments, c'est-à-dire le nombre de façons différentes de les réarranger, est appelé factorielle de \( n \) et noté \( n! \).

Formule des permutations

Le nombre de permutations possibles de \( n \) éléments est donné par :

     n! = n 	imes (n-1) 	imes (n-2) 	imes \dots 	imes 2 	imes 1 \quad 	ext{avec} \quad 0! = 1 

Exemples

• Pour 3 éléments \( \{A, B, C\} \), le nombre de permutations est :

     3! = 3 	imes 2 	imes 1 = 6

• Les permutations de 5 lettres sont au nombre de :

     5! = 120

Applications

• Organiser des objets ou des personnes dans un ordre précis.
• Calculer le nombre de codes ou de mots possibles avec une sélection de lettres.

Résumé

Les permutations permettent de compter le nombre d'ordres possibles pour un ensemble d'éléments distincts. La formule fondamentale est \( n! \), qui croît très rapidement avec \( n \).