Comparer deux séries statistiques

Pour comparer deux séries, on regarde d'abord leur « centre » (moyenne, médiane), puis leur « étalement » (étendue, écart interquartile, écart-type) : deux séries peuvent avoir la même moyenne et être très différentes.

Objectifs

Calculer les indicateurs de position : moyenne, médiane, quartiles.
Calculer les indicateurs de dispersion : étendue, écart interquartile, écart-type.
Construire et lire un diagramme en boîte.
Comparer deux séries en utilisant un indicateur de position ET un indicateur de dispersion.

1. Indicateurs de position : où est le centre ?

Les recettes (rangées dans l'ordre croissant) sont :

Fatou (série A) : 12 ; 15 ; 15 ; 18 ; 20 ; 22 ; 25 ; 25 ; 28
Aïcha (série B) : 8 ; 10 ; 14 ; 17 ; 20 ; 23 ; 26 ; 30 ; 32

Exemple résolu 1 : indicateurs de position de la série A

Somme : \(12 + 15 + 15 + 18 + 20 + 22 + 25 + 25 + 28 = 180\), donc \[ \bar{x}_A = \frac{180}{9} = 20. \]

\(n = 9\) est impair : la médiane est la valeur de rang \(\frac{9+1}{2} = 5\), donc \(Me_A = 20\).

\(\frac{9}{4} = 2{,}25\) : on prend le rang 3, donc \(Q_1 = 15\).

\(\frac{3 \times 9}{4} = 6{,}75\) : on prend le rang 7, donc \(Q_3 = 25\).

À toi pour la série B. Cherche d'abord, puis vérifie.

Voir la solution

Somme : \(8 + 10 + 14 + 17 + 20 + 23 + 26 + 30 + 32 = 180\), donc \(\bar{x}_B = 20\). Médiane (rang 5) : \(Me_B = 20\). \(Q_1\) (rang 3) \(= 14\) et \(Q_3\) (rang 7) \(= 26\).

Même moyenne et même médiane que Fatou ! Les indicateurs de position ne suffisent donc pas pour comparer.

Quelle est la médiane de la série 3 ; 7 ; 8 ; 10 ; 14 ; 20 ?

n = 6 est pair : on fait la moyenne des valeurs de rangs 3 et 4, soit (8 + 10) ÷ 2 = 9.

2. Indicateurs de dispersion : les valeurs sont-elles groupées ?

Exemple résolu 2 : dispersion des deux séries

Étendues : \(e_A = 28 - 12 = 16\) et \(e_B = 32 - 8 = 24\).

Écarts interquartiles : \(Q_3 - Q_1 = 25 - 15 = 10\) pour A et \(26 - 14 = 12\) pour B.

Série A, écarts à la moyenne 20 : \(-8, -5, -5, -2, 0, 2, 5, 5, 8\). Carrés : \(64, 25, 25, 4, 0, 4, 25, 25, 64\), de somme 236. \[ V_A = \frac{236}{9} \approx 26{,}2 \qquad \sigma_A = \sqrt{\frac{236}{9}} \approx 5{,}1 \]

Série B, écarts : \(-12, -10, -6, -3, 0, 3, 6, 10, 12\). Carrés : \(144, 100, 36, 9, 0, 9, 36, 100, 144\), de somme 578. \[ V_B = \frac{578}{9} \approx 64{,}2 \qquad \sigma_B = \sqrt{\frac{578}{9}} \approx 8{,}0 \]

Conclusion : même centre (moyenne et médiane égales à 20 000 F CFA), mais tous les indicateurs de dispersion de B sont plus grands. Les recettes de Fatou sont plus régulières ; celles d'Aïcha varient davantage.

Dans la série A, on remplace la dernière recette 28 par 100 (jour de fête). Quel indicateur ne change pas ?

La moyenne
L'étendue
La médiane

La 5e valeur de la série rangée reste 20 : la médiane ne bouge pas. La moyenne passe à 252 ÷ 9 = 28 et l'étendue à 88.

Toutes les recettes de Fatou augmentent de 2 (en milliers de F CFA). Que devient l'écart-type ?

Il ne change pas
Il augmente de 2
Il double

La moyenne augmente aussi de 2, donc chaque écart à la moyenne reste le même : l'écart-type ne change pas.

3. Le diagramme en boîte : comparer d'un coup d'œil

Construction : sur un axe gradué, on trace une boîte de \(Q_1\) à \(Q_3\), un trait à la médiane, puis deux « moustaches » qui vont jusqu'au minimum et au maximum. Deux boîtes sur le même axe se comparent facilement.

Boîte A : min 12, Q1 15, médiane 20, Q3 25, max 28.

Boîte B : min 8, Q1 14, médiane 20, Q3 26, max 32. La boîte et les moustaches sont plus longues : série plus dispersée.

Les médianes sont alignées : les deux séries ont le même centre, seule la dispersion change.

À toi : place les cinq nombres sur ce diagramme en boîte.

Exemple résolu 3 : rédiger une comparaison

Deux classes de seconde de Bamako ont eu un devoir. Classe 1 : médiane 11, \(Q_1 = 9\), \(Q_3 = 13\). Classe 2 : médiane 12, \(Q_1 = 7\), \(Q_3 = 16\). Compare les deux classes. Cherche d'abord.

Voir la solution

Position : la médiane de la classe 2 (12) est un peu plus élevée : la moitié de ses élèves a au moins 12, contre au moins 11 dans la classe 1.

Dispersion : écart interquartile \(13 - 9 = 4\) pour la classe 1 et \(16 - 7 = 9\) pour la classe 2. La classe 1 est beaucoup plus homogène ; la classe 2 a des résultats plus inégaux.

Une bonne comparaison cite toujours un indicateur de position et un indicateur de dispersion.

Sur deux diagrammes en boîte, la boîte de la série X est deux fois plus longue que celle de la série Y. Cela signifie que…

la moyenne de X est deux fois plus grande
l'écart interquartile de X est deux fois plus grand
X a deux fois plus de valeurs

La longueur de la boîte vaut Q3 − Q1, c'est-à-dire l'écart interquartile. Elle ne dit rien de la moyenne ni de l'effectif.

Erreurs fréquentes

Récapitulatif

Position : moyenne \(\bar{x}\), médiane \(Me\), quartiles \(Q_1\) et \(Q_3\).
Dispersion : étendue, écart interquartile \(Q_3 - Q_1\), écart-type \(\sigma = \sqrt{V}\).
Couples à utiliser ensemble : (moyenne, écart-type) ou (médiane, écart interquartile).
Le diagramme en boîte résume une série en 5 nombres et permet de comparer d'un coup d'œil.

Médiane

Valeur qui partage la série rangée en deux groupes de même effectif.

Quartiles Q1 et Q3

Plus petites valeurs telles qu'au moins 25 % (pour Q1) ou 75 % (pour Q3) des valeurs leur sont inférieures ou égales.

Écart interquartile

Q3 − Q1 : étalement de la moitié centrale des valeurs.

Écart-type

Racine carrée de la variance : écart moyen des valeurs à la moyenne.

Diagramme en boîte

Min, Q1, médiane, Q3, max sur un axe gradué.

Bien comparer

Toujours un indicateur de position et un indicateur de dispersion.