1. Pré-requis

• Loi d'Ohm : u = R i
• Notion d'intensité i(t) et de tension u(t)
• Dérivée d'une fonction et résolution d'équations différentielles élémentaires

2. Définitions essentielles

Condensateur (capacité C)

Élément qui stocke des charges électriques. Relation fondamentale : q = C · u_C où q est la charge (C·s) et u_C la tension aux bornes (V).

Courant et tension

Relation temporelle : i(t) = \frac{dq}{dt} = C \frac{du_C}{dt}.

3. Circuit RC série : charge et décharge

Considérons un condensateur C série avec une résistance R alimentés par une source idéale de tension continue U₀ via un interrupteur.

3.1. Charge (interrupteur fermé vers la source)

Équation différentielle : R i(t) + u_C(t) = U_0 et i(t)=C du_C/dt.

Résolution (conditions initiales u_C(0)=0) :

u_C(t) = U_0 \left(1 - e^{-t/\tau}\right), avec \tau = R C

i(t) = \frac{U_0}{R} e^{-t/\tau}

Interprétation : la constante de temps \tau donne l'échelle temporelle. À t=\tau, u_C atteint ≈63 % de U₀.

3.2. Décharge (source coupée, condensateur relié à R)

Équation : R C du_C/dt + u_C = 0. Solution (u_C(0)=U_i) :

u_C(t) = U_i e^{-t/\tau}, i(t) = -\frac{U_i}{R} e^{-t/\tau}

4. Constante de temps τ = R C

• Caractérise la vitesse de charge/décharge : plus τ grand → réponse plus lente.
• Unités : s (R en Ω, C en F).
• Valeurs typiques : C en nF–mF, R en kΩ → τ souvent ms–s.

5. Énergie emmagasinée

Énergie électrostatique stockée dans un condensateur chargé à la tension U :

E = \frac{1}{2} C U^2

Lors de la charge, la moitié de l'énergie fournie par la source est dissipée dans R (dans un circuit simple sans récupération).

6. Comportement en régime sinusoïdal (AC)

Pour une excitation sinusoïdale \(u(t)=U_m\cos(\omega t)\), le condensateur a une réactance :

X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi f C}

En notation complexe (phasors) : impedance Z_C = \frac{1}{j\omega C} = -j\frac{1}{\omega C}.

Conséquence : le courant précède la tension aux bornes du condensateur de 90° (i en avance de u_C).

6.1. Filtre RC (série) — fonction de transfert (tension aux bornes du condensateur)

Pour le montage série R–C avec entrée U et sortie aux bornes du condensateur :

H(\omega)=\dfrac{U_C}{U} = \dfrac{1}{1+j\omega R C}

Module : |H(\omega)|=\dfrac{1}{\sqrt{1+(\omega R C)^2}}. C'est un filtre passe-bas dont la pulsation de coupure est \(\omega_c=1/RC\) et la fréquence de coupure \(f_c=\dfrac{1}{2\pi R C}\).

Pour \omega\gg\omega_c, |H|\approx 1/(\omega RC) → atténuation forte ; pour \omega\ll\omega_c, |H|\approx 1.

7. Association de condensateurs

En parallèle : C_eq = C_1 + C_2 + ...
En série : 1/C_eq = 1/C_1 + 1/C_2 + ...

8. Exemples résolus

9. Observations expérimentales simples

• Brancher un oscilloscope sur un circuit RC permet d'observer la charge exponentielle et le déphasage entre u et i (via une résistance de mesure).
• Mesurer la constante de temps : appliquer un échelon et ajuster τ tel que u_C(τ) ≈ 0.63·U_final.

10. Exercices (pour s'entraîner)