Un condensateur stocke et libère de l'énergie électrostatique; son comportement en charge/décharge obéit à \(i=C\,\dfrac{dv}{dt}\) et au temps caractéristique \(\tau=RC\).

Circuits électriques dynamiques — Comportement capacitif

Objectifs

Comprendre la définition physique de la capacité et son unité.
Relier courant et tension pour un condensateur: \(i(t)=C\,\dfrac{dv(t)}{dt}\).
Décrire la charge et la décharge dans un circuit RC et utiliser la constante de temps \(\tau=RC\).
Calculer l'énergie stockée: \(E=\dfrac{1}{2}CV^2\).

Notions clés

Capacité (définition)

La capacité est la propriété d'un dispositif à stocker une charge électrique. Par définition :

\(C = \dfrac{Q}{V}\) où \(Q\) est la charge et \(V\) la différence de potentiel.

Unité : le farad (F). Exemple pour un condensateur plan ideal : \(C=\varepsilon_0\dfrac{A}{d}\).

Relation courant-tension

La loi locale reliant courant et tension est :

\(i(t)=C\dfrac{d v(t)}{d t}\).

Réponse d'un circuit série RC (mise sous tension)

Pour un circuit série placé sous une tension continue \(V_0\) à \(t=0\) (condensateur initialement déchargé),

\begin{align} v_C(t) &= V_0\left(1-\mathrm{e}^{-t/(RC)}\right) \\ i(t) &= \dfrac{V_0}{R}\,\mathrm{e}^{-t/(RC)} \end{align}

La constante de temps est \(\tau=RC\) : après \(t=\tau\), la tension a atteint environ 63\% de sa valeur finale.

Étape 1 : au moment initial la tension au condensateur est nulle, le courant vaut \(V_0/R\).

Étape 2 : la tension augmente suivant \(1-\mathrm{e}^{-t/RC}\) et le courant décroit exponentiellement.

Étape 3 : pour \(t\gg RC\), le condensateur est chargé et le courant tend vers 0.

Énergie stockée

L'énergie électrostatique conservée dans un condensateur chargé à la tension \(V\) est :

\(E=\dfrac{1}{2}CV^2\).

Quel est le courant initial dans un circuit série R-C quand on applique immédiatement une tension \(V_0\) à un condensateur déchargé ?

0
\(V_0/R\)
\(C\,V_0\)

Au moment initial le condensateur est comme un court-circuit (\(v_C(0)=0\)), donc la loi d'Ohm donne \(i(0)=V_0/R\).

Exemples résolus

Exemple 1 — charge numérique (voir par étapes)

Enoncé : \(R=10\,\text{k}\Omega\), \(C=100\,\text{nF}\), \(V_0=12\,\text{V}\). Calculer \(\tau\) et \(v_C(5\,\text{ms})\).

Étape 1 — calcul de la constante de temps : \(\tau=RC\).

Étape 2 — substitution numérique :

\begin{align} \tau &= R\,C = (10\times10^{3})\times(100\times10^{-9}) = 10^{4}\times10^{-7} = 10^{-3}\ \text{s} = 1\ \text{ms} \end{align}

Étape 3 — tension au temps \(t=5\ \text{ms}\) :

\begin{align} v_C(t) &= V_0\left(1-\mathrm{e}^{-t/\tau}\right) \\ v_C(5\,\text{ms}) &= 12\left(1-\mathrm{e}^{-5\,\text{ms}/1\,\text{ms}}\right) = 12\left(1-\mathrm{e}^{-5}\right) \\ &\approx 12\left(1-0.0067379\right) \approx 12\times0.9932621 \approx 11.92\ \text{V} \end{align}

Conclusion : \(\tau=1\,\text{ms}\) et \(v_C(5\,\text{ms})\approx11.92\,\text{V}\).

Exemple 2 — énergie stockée (cherche d'abord)

Enoncé : un condensateur de \(220\,\mu\text{F}\) est chargé sous \(5\,\text{V}\). Quelle énergie est stockée ?

Voir la solution

Formule : \(E=\dfrac{1}{2}CV^2\).

Substitution : \(C=220\times10^{-6}\ \text{F},\ V=5\ \text{V}\) donne

\[E=\dfrac{1}{2}\times220\times10^{-6}\times5^2=0.5\times220\times10^{-6}\times25=2750\times10^{-6}\ \text{J}=2.75\times10^{-3}\ \text{J}.\]

Avec \(R=10\,\text{k}\Omega\) et \(C=100\,\text{nF}\), la constante de temps vaut :

1 ms
10 ms
0.1 ms

\(\tau=RC=10\times10^{3}\times100\times10^{-9}=10^{-3}\,\text{s}=1\,\text{ms}\).

Erreurs fréquentes

Utiliser la bonne expression pour le courant : \(i=C\,dv/dt\), pas \(v=Ri\) (Ohm) pour le condensateur seul.
Vérifier les unités : \(\mu\text{F}\), \(\text{nF}\) demandent des puissances de 10 correctes.
En régime AC, un condensateur présente une réactance \(X_C=\dfrac{1}{\omega C}\) — pense aux fréquences.

Après combien de temps environ un condensateur a-t-il atteint 95\% de sa tension finale ?

\(\tau\)
\(2\tau\)
\(3\tau\)

Règles empiriques : environ 95\% à \(t\approx3\tau\).

Outils interactifs

Visualisez la courbe de charge normalisée \(v(t)/V_0=1-\mathrm{e}^{-t/\tau}\) en jouant sur \(\tau\).

Récapitulatif

Définition : \(C=Q/V\) (farad).
Loi fondamentale : \(i(t)=C\,dv/dt\).
Charge/décharge RC : \(v_C(t)=V_0(1-e^{-t/RC})\), \(i(t)=(V_0/R)e^{-t/RC}\).
Constante de temps : \(\tau=RC\).
Énergie : \(E=\dfrac{1}{2}CV^2\).

Quelle formule donne l'énergie stockée dans un condensateur ?

\(E=CV^2\)
\(E=\dfrac{1}{2}CV^2\)
\(E=\dfrac{Q^2}{C}\)

La bonne formule est \(E=\tfrac{1}{2}CV^2\). (Noter que \(E=\tfrac{Q^2}{2C}=\tfrac{1}{2}QV\) sont formes équivalentes.)

Cartes mémo

Capacité

\(C=Q/V\), unité : farad

Courant-tension

\(i=C\,dv/dt\)

Constante de temps

\(\tau=RC\) (63\% à \(\tau\))

Charge RC

\(v_C(t)=V_0(1-e^{-t/RC})\)

Énergie

\(E=\tfrac{1}{2}CV^2\)